阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系公开课教学设计模版

22.3实际问题与二次函数

（第1课时）

课型：新授课

教学目标

知识与技能：

1.经历探索物体运动中的最大高度等问题的过程，体会二次函数是一类最优化的数学模型，并感受数学的应用价值。

2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值），发展解决问题的能力。

过程与方法：

经理物体运动中的最大高度等问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。

情感态度与价值观：

体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。

教学重点：

1、探究运动中的最大高度等问题

2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数学关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大（小）值，发展解决问题的能力。

教学难点

运用二次函数解决实际问题

教学方法：讲解、归纳、讨论、分析、练习

教学过程：

一、创设问题情境，引入新课。

前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图像和性质，掌握了二次函数的表达式，首先我们来回顾二次函数的两种形式y＝a(x-h)2＋k和

y＝ax2＋bx＋c各有怎样的性质：

1．二次函数

y＝a(x-h)2＋k的图象和性质

(1)当

a>0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____

，顶点坐标是___

。

(2)当

a<0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____

，顶点坐标是___

。

2．二次函数

y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质

(1)当

a>0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____

，顶点坐标是___

。

(2)当

a<0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____

，顶点坐标是___

。

根据上述性质你能尝试解决下面的问题吗？

1、二次函数y





x



3)

2



5

图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（

）

2(（A）开口向下，对称轴为x= –3 ，顶点坐标为（3，5），

（B）开口向下，对称轴为x= 3 ，顶点坐标为（3，5）

（C）开口向上，对称轴为x= –3 ，顶点坐标为（-3，5）

（D）开口向上，对称轴为x= 3 ，顶点坐标为（-3，5）

2、抛物线y =x2

–2x

–3 的对称轴和顶点坐标分别是(

)

A．x =1，(1，-4)

B．x =1，(1，4)

C．x=-1，(-1，4)

D．x =-1，(-1，-4)

由此可以看出由二次函数的解析式可以求出相应函数的最大（小）值，这节课我们就来学习用二次函数解决实际问题。

二、新授

问题1：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度

h（单位：

m）与小球的运动时间

t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

分析：我们可以借助函数图像解决这个问题。画出函数的图像。

可以看出，这个函数的图像抛物线的一部分。这条抛物线的顶点是这个函数的图像的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值

因此，当

t











3

，

时，h有

b2a302（5）4acb2302最大值

h







45

．

也就是说，

4a4（5）

小球运动的时间是

3 s 时，小球最高．

小球运动中的最大高度是

45 m．

如何求出二次函数

y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？

由于抛物线

y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，

当

b

时，

2二次函数

ay = ax 2 + bx + c 有最小（大）

值

类比引入，探究问题

探究1：

x4acb2y．4a用总长为

60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积

S 随矩形一边长

l 的变化而变化．当

l 是多少米时，场地的面积

S 最大？

60解：Sll

，

2整理后得

S





l



30

．

l

（0＜l＜30）∴

当l2b3015

时，

2a214acb2S

有最大值为



225

．

4a

当

l 是

15 m 时，场地的面积

S 最大．

归纳探究，总结方法：

1．由于抛物线

y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当

xb4acb2时，二次函数

y = ax + bx + c 有最小（大）

值

y

．4a2 2a2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.

3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.

三、运用新知，拓展训练

：

问题2：为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙

（墙长

25 m）的空地上修建一个矩形绿化带

ABCD，绿

化带一边靠墙，

另三边用总长为

40 m 的栅栏围住

（如

下图）．设绿化带的

BC 边长为

x m，绿化带的面积为

y m 2．

（1）求

y 与

x 之间的函数关系式，并写出

自变量

x 的取值范围.

（2）当

x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

四、课堂小结

（1）

如何求二次函数的最小（大）值，并利用其解决实际问题？

（2）

在解决问题的过程中应注意哪些问题？你学到了哪些思考问题的方法？

五．布置作业

教科书习题

22.3

第

1，4，5 题．