1.2.1 充要条件第二课时教案

2009~2013年高考真题备选题库

第1章 集合与常用逻辑用语

第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

考点一 命题及其关系

1．（2013陕西，5分）设z是复数，

则下列命题中的假命题是(

) A．若z2≥0，则z是实数

B．若z2＜0，则z是虚数

C．若z是虚数，则z2≥0

D．若z是纯虚数，则z2＜0 解析：本题主要考查复数的分类，复数代数形式的运算及命题真假的判断．实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得ab＝0，2则b＝0，故选项A为真，同理选项B为真；而选项C为假，选项D为真．

2a－b≥0，

答案：C 2．（2013天津，5分）已知下列三个命题：

11①若一个球的半径缩小到原来的，

则其体积缩小到原来的；

28②若两组数据的平均数相等，

则它们的标准差也相等；

1③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．

2其中真命题的序号为(

) A．①②③

C．①③

B．①②

D．②③

解析：本题考查命题真假的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．若一个球的半径缩小11到原来的，则其体积缩小到原来的，所以①是真命题；因为标准差除了与平均数有关，还28与各数据有关，所以②是假命题；因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于的半径，所以③是真命题．故真命题的序号是①③. 答案：C 3．（2013四川，5分）设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点．在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”．例如，线段

AB上的任意点都是端点A，B的中位点．现有下列命题：

①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；

②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；

③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；

1，等于圆2

④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．

其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 解析：本题主要考查求函数最值，两点间的距离公式，建立坐标系，以及不等式的放缩等基础知识和基本技能，意在考查综合运用知识分析和解决问题的能力，推理论证和运算求解能力．对于①，不妨假设A，C，B三点在平面直角坐标系xOy中的x轴上由左至右排列，A(0,0)，C(c,0)，B(b,0)，0＜c＜b，对于平面内任意一点M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＝x2＋y2＋x－b2＋y2＋x－c2＋y2≥|x|＋|x－b|＋|x－c|.因为0＜c＜b，所以当x＝c时，(|MA|＋|MB|＋|MC|)min＝b，此时M(c,0)，也就是M点与C点重合，故①正确；对于②，设△ABC中∠C为直角，以C为原点，CA，CB分别为x，y轴建立平面直角坐标系xOy，并设点A(a,0)，B(0，abb)，a＞0，b＞0，M(x，y)为平面内任意一点，AB中点坐标为2，2，则|MA|＋|MB|＋|MC|＝

x－a2＋y2＋x2＋y－b2＋

ab3x2＋y2，当x＝，y＝时，|MA|＋|MB|＋|MC|＝

222a2＋b2，22921225a＋5b－8ab而当x＝0，y＝0时，|MA|＋|MB|＋|MC|＝a＋b，因为(a＋b)－(a＋b)＝≥ab442＞0，所以斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；对于③，不妨假设A，B，C，D四点在平面直角坐标系xOy中的x轴上由左至右排列，A(0,0)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，0＜b＜c＜d，对于平面内任意一点M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＝x2＋y2＋x－b2＋y2＋x－c2＋y2＋x－d2＋y2≥|x|＋|x－b|＋|x－c|＋|x－d|，因为0＜b＜c＜d，所以当x∈[b，c]时，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|取得最小值，此时M(x,0)，x∈[b，c]，不唯一，故③错误；对于④，由①可知A，C的中位点为线段AC之间的任意一点，B，D的中位点为线段BD之间的任意一点，所以A，B，C，D的中位点为线段AC与线段BD的交点，也就是梯形对角线的交点，故④正确．答案为①④. 答案：①④

π4．（2012湖南，5分）命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(

) 4πA．若α≠，则tan α≠1

4πC．若tan α≠1，则α≠

4πB．若α＝，则tan α≠1 4πD．若tan α≠1，则α＝

4π解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，4π则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．

4答案：C 5．（2012江西，5分）下列命题中，假命题为(

) A．存在四边相等的四边形不是正方形

B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数

C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1 1nD．对于任意n∈N＋，C0n＋Cn＋…＋Cn都是偶数

解析：空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故A为真命题；令z1＝1＋bi，z2＝3－bi(b∈R)，显然z1＋z2＝4∈R，但z1，z2不互为共轭复数，B为假命题；假设x，y都不大0于1，则x＋y>2不成立，故与题设条件“x＋y>2”矛盾，假设不成立，故C为真命题；Cn＋1nCn＋…＋Cn＝2n为偶数，故D为真命题．排除A，C，D，选B. 答案：B 6．（2011新课标全国，5分）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

2π2πp1：|a＋b|>1⇔θ∈[0，)

p2：|a＋b|>1⇔θ∈(，π] 33ππp3：|a－b|>1⇔θ∈[0，)

p4：|a－b|>1⇔θ∈(，π] 33其中的真命题是(

) A．p1，p4

C．p2，p3

B．p1，p3

D．p2，p4

解析：由|a＋b|>1可得：a2＋2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，

12π2π1|b|＝1，∴a·b>－.故θ∈[0，)．当θ∈[0，)时，a·b>－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2>1，2332即|a＋b|>1；由

1π|a－b|>1可得：a2－2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b<.故θ∈(，π]，反之也成立．

23答案：A 7．（2011陕西，5分）设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(

) A．若a≠－b，则|a|≠|b|

C．若|a|≠|b|，则a≠－b

B．若a＝－b，则|a|≠|b|

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

解析：只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a|＝|b|，则a＝－b.”

答案：D 8．（2010天津，5分）命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(

) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

解析：否命题是既否定题设又否定结论．

因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．

答案：B 考点二 充分条件与必要条件

1．（2013山东，5分）给定两个命题p，q.若綈

p是q的必要而不充分条件，则p是綈

q的(

) A．充分而不必要条件

C．充要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：本题考查命题、逻辑联结词及充分、必要条件等基础知识，考查等价转化的数学思想，考查分析问题和解决问题的能力．q⇒綈p等价于p⇒綈q，綈p⇒/ q等价于綈q⇒/ p，故p是綈q的充分而不必要条件．

答案：

A 2．（2013安徽，5分）“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：本题考查二次函数图象性质以及图象变换，意在考查转化与化归思想．根据二次函数的图象可知f(x)在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，本题不难求解．f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即1a＝0或<0，也就是a≤0，故“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增”的a充要条件，故选C. 答案：

C 3．（2013福建，5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：本题考查集合与充分必要条件等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力．因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B⇒/ a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．

答案：

A

4．（2013浙江，5分）已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函π数”是“φ＝”的(

) 2A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：本题考查对必要条件、充分条件与充要条件的理解，考查三角函数的诱导公式、三角函数的奇偶性等，意在考查考生的推理能力以及三角函数性质的掌握等．若f(x)是奇函ππ数，则φ＝＋kπ(k∈Z)，且当φ＝时，f(x)为奇函数．

22答案：

B 5．（2013北京，5分）“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：本题考查三角函数的诱导公式、三角函数的性质、充要条件的判断等基础知识和基本方法，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．

答案：

A b6．（2012陕西，5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”i的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

b解析：复数a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0；而ab＝0表示a＝0或者b＝0，故ib“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．

i答案：B 7．（2011福建，5分）若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的

(

) A．充分而不必要条件

C．充要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分又不必要条件

解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”；故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2. 答案：A

8．（2011湖南，5分）设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

解析：显然a＝1时一定有N⊆M，反之则不一定成立，如a＝－1.故是充分不必要条件．

答案：A 9．（2010辽宁，5分）已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是(

) 11A．∃x∈R，ax2－bx≥ax2－bx0

22011B．∃x∈R，ax2－bx≤ax2－bx0

22011C．∀x∈R，ax2－bx≥ax2－bx0

22011D．∀x∈R，ax2－bx

≤ax2－bx0

2201解析：设函数f(x)＝ax2－bx，

2∴f′(x)＝ax－b，由已知可得f′(x0)＝ax0－b＝0，

又因为a>0，所以可知x0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点．

由最小值定义可知选项C正确．

答案：C 10．（2010陕西，5分）对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2…)”是“{an}为递增数列”的(

) A．必要不充分条件

C．充要条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：因为an＋1>|an|⇒an＋1>an⇒{an}为递增数列，但{an}为递增数列⇒an＋1>an推不出an＋1>|an|，

故“an＋1>|an|(n＝1,2…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．

答案：B 11．(2009·安徽，5分)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是(

) A．p：a＋c>b＋d，

q：a>b且c>d

B．p：a>1，b>1，

q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象不过第二象限

C．p：x＝1,

q：x2＝x

D．p：a>1，

q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数

解析：

a>bc>d⇒a＋c>b＋d(不等式的性质)，

反之不成立，例如：8＋2>6＋3，a＝8，b＝2，c＝6，d＝3. a>b但c

答案：A 12．(2009·浙江，5分)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：a>0，b>0时显然有a＋b>0且ab>0，充分性成立；反之，若a＋b>0且ab>0，则a，b同号且同正，即a>0，b>0.必要性成立．

答案：C 13．（2011陕西，5分）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2. 答案：3或4