3.4 生活中的优化问题举例PPT及课堂实录内容

3.1.1变化率问题

教学目标

1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率. 教学重点

平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.

教学难点

平均变化率的概念.

一、【创设情境】

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具. 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二、新课讲授

(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)3分析: r(V)343r

33V

43V

4(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

r(1)r(0)0.62(dm/L)

气球的平均膨胀率为10(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

r(2)r(1)0.16(dm/L)

气球的平均膨胀率为21r(V2)r(V1)

V2V1h 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 0t0.5和1t2的平均速度v

在0t0.5这段时间里, o

1 t

vh(0.5)h(0)4.05(m/s)

0.50在1t2这段时里, h(2)h(1)8.2(m/s)

2165探究: 计算运动员在0t这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49v(1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程: 如图是函数h(t)4.9t26.5t10的图像,结合图形可知, h(65)h(0),所以v49h(65)h(0)490(s/m)

65049虽然运动员在0t65这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运49动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. (二)平均变化率概念

1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)f(x1)表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.

x2x12.若设xx2x1, ff(x2)f(x1)(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1x代替x2,同样fyf(x2)f(x1))则平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf

xxx2x1x思考: 观察函数f(x)的图象

平均变化率

三、典例分析

例

求yx2在xx0附近的平均变化率. 解: y(x0x)2x0

22x02x0xx2x0y(x0x)2x02x0x

所以xxx所以yx2在xx0附近的平均变化率为2x0x

2ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x12课堂练习：质点运动规律为st3,则在时间(3,3t)中相应的平均速度为 . 四、【课堂小结】

1.平均变化率的概念. 2.函数在某点处附近的平均变化率.

五、【书面作业】

六、【教后记】

2 2

3.1.2导数的概念

教学目标

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；

3.会求函数在某点的导数. 教学重点

导数的概念、了解导数的内涵。

教学难点

导数的概念. 了解导数的内涵。

一、【复习回顾】

1．平均变化率; 2．函数在某点处附近的平均变化率。

二、【新知探究】

1.瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况: 思考: 当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？

结论: 当t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v都趋近于一个确定的值13.1. 从物理的角度看,时间间隔t无限变小时,平均速度v就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

h(2t)h(2)13.1

t0t表示“当t2,t趋近于0时,平均速度v趋近于定值13.1”

为了表述方便,我们用lim小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值. 2.导数的概念

从函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是: x0limf(x0x)f(x0)flim

x0xx3

我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数,记作f'(x0)或y'|xx

0即f(x0)limx0f(x0x)f(x0)

x说明: (1)导数即为函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率; (2)xxx0,当x0时,xx0,所以f(x0)lim【例题精析】

例1 (1)求函数y3x2在x1处的导数. (2)求函数f(x)x2x在x1附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求fyf(x0x)f(x0),再求x0f(x)f(x0). xx0yy,最后求lim. x0xx例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油的温度(单位:C)为f(x)x27x15(0x8),计算第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解:

在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

f(2x)f(x0)f根据导数定义

xx(2x)27(2x)15(227215)x3

xflim(x3)3 同理可得:f(6)5

所以f(2)limx0xx0在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5, 说明在第2h附近,原油温度大约以3C/h的速率下降

在第6h附近,原油温度大约以5C/h的速率上升. 注: 一般地,f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况. 课堂练习

21.质点运动规律为st3,求质点在t3的瞬时速度为. 2.求曲线yf(x)x3在x1时的导数. 3.例2中,计算第3h时和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 四、【课堂小结】

1.瞬时速度、瞬时变化率的概念. 2.导数的概念.

五、【书面作业】

六、【教后记】

4

3.1. 3 导数的几何意义

教学目标

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题. 教学重点

曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.

教学难点

导数的几何意义.

一、【复习回顾】

1.瞬时速度、瞬时变化率的概念. 2.导数的概念是什么？

二、【创设情境】

（一）、平均变化率、割线的斜率

（二）、瞬时速度、导数

我们知道,导数表示函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率,反映了函数yf(x)在xx0附近的变化情况,导数f(x0)的几何意义是什么呢？

三、【新课讲授】

1.曲线的切线及切线的斜率

如图3.1-2,当P,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割n(xn,f(xn))(n1线PPn的变化趋势是什么？

图3.1-2

P即x0时,割线PPn趋近于确定的位置, 我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

PT的斜率k有什么关系？

问题: (1)割线PPn的斜率kn与切线 (2)切线PT的斜率k为多少？

5

容易知道,割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0)P时, ,当点Pn沿着曲线无限接近点xnx0f(x0x)f(x0)f(x0)

kn无限趋近于切线PT的斜率k,即klimx0x说明: (1)设切线的倾斜角为,

那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义

函数yf(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k得到曲线在点

x(x0,f(x0))的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. 3.导函数

由函数yf(x)在xx0处求导数的过程可以看到,当xx0时,f(x0)是一个

确定的数,那么,当x变化时, f(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数. 记作:f(x)或y,即f(x)ylimx0f(xx)f(x).

x注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. 4.函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系

(1)函数在一点处的导数f(x0),就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的

极限,它是一个常数,不是变数. (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数. (3)函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值,这也是

求函数在点x0处的导数的方法之一. 四。【例题精析】

例1 (1)求曲线yf(x)x1在点P(1,2)处的切线方程. (2)求函数y3x在点(1,3)处的导数. 22[(1x)21](121)2xx2lim2

解: (1)y|x1limx0x0xx所以,所求切线的斜率为2

6

因此,所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

3x23123(x212)limlim3(x1)6

(2)因为y|x1limx1x1x1x1x1所以,所求切线的斜率为6, 因此,所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x26.5x10, 根据图像,请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况. 解: 我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线, 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. (1)

当tt0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴, 所以,在tt0附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当tt1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0,所以,在tt1附近曲线下降, 即函数h(x)4.9x26.5x10在tt1附近单调递减. (3)当tt2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0,所以,在tt2附近曲线下降,即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减．

从图3.1-3可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度,这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢. 例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min)变化的图象.根据图像,估计t0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).

解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度f(t)在此时刻的导数, 从图像上看,它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率. 如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率, 可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值. 作t0.8处的切线,并在切线上去两点,如(0.7,0.91),(1.0,0.48), 则它的斜率为k0.480.911.4,所以f(0.8)1.4

1.00.7下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值: t

药物浓度瞬时变化率f(t)

'0.2 0.4 7 0.4 0 0.6 -0.7 0.8 -1.4

五。课堂练习

1.求曲线yf(x)x3在点(1,1)处的切线. 2.求曲线yx在点(4,2)处的切线. 六。【课堂小结】

1.曲线的切线及切线的斜率. 2.导数的几何意义. 七。【书面作业】

八。【教后记】

3.2.1几个常用函数的导数

教学目标：

1.

能够用导数的定义求几个常用函数的导数；

2.

利用公式解决简单的问题。

教学重点和难点

1．重点：依导数的定义求四个函数,,y2．难点：推导几个常用函数的导数。

c,yx,yx2y1的导数；

x教学方法：

自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。

教学过程：

一

复习回顾

1、函数在一点处导数的定义；

2、导数的几何意义；

3、导函数的定义；

4、求函数的导数的步骤。

二

讲解新课

1、求f(x)c的导数。

解：yf(xx)f(x)cc0，

xxxyf'(x)limlim00

x0xx02. 求f(x)x的导数。

yf(xx)f(x)xxx1，

xxxy'lim11。

f(x)limx0xx0解：y'1表示函数yx图象上每一点处的切线的斜率都为1.若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。

8 '

思考：(1).从求yx，y2x，y3x，y4x的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？

(2).函数ykx(k0)增的快慢与什么有关？

可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快. 3. 求函数yf(x)x2的导数。

yf(xx)f(x)(xx)2x22xx，

解：

xxxy'f'(x)limylim(2xx)2x。

x0xx0y'2x表示函数yx2图象上每点（x,y）处的切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化：

(1) 当x<0时，随着

x的增加，yx2减少得越来越慢；

（2）当x>0时，随着

x的增加，yx2增加得越来越快。

4. 求函数yf(x)1的导数。

x11yf(xx)f(x)xxxx(xx)12解：

，

xxxx(xx)xxxxy'f'(x)limy11lim(2)2

x0xx0xxxx[来源学科网][来源:Zxxk.Com]

思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？

kf'(1)1，所以其切线方程为yx2。

(2)改为点（3，3），结果如何？

(3)把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程。

三

例题

1. 试求函数yf(x)解：

x的导数。

yf(xx)f(x)xx　　xxxx

(xxx)(xxx)x(xxx)1　＝(xxx)y'f'(x)lim

y11lim

x0xx0xxx2x9

2. 已知点P（-1，1），点Q（2，4）是曲线yx2上的两点，求与直线PQ平行的曲线的切线方程。

解：y'2x，设切点为M(x0,y0)，则y因为PQ的斜率k'xx02x0.

4111,又切线平行于PQ，所以k2x01，即x0，切点212[来源:Zxxk.Com]11M(,)，所求直线方程为4x4y10。24四

练习

1.如果函数f(x)5，则f'(1)（

）

A. 5

B. 1

C.

0

D.不存在[来源学科网Z|X|X|K]

2.曲线y2x21在点（0，1）的切线斜率是（

）

A.-4

B.0

C.2

D. 不存在

121x在点(1,)处切线的倾斜角为（

）

225

A. 

B. 1

C.

D.

444

3.曲线y[来源学科网]答案：1.C

2.B

3.C 五

小结

1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；

2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。

六

作业

1.

P85 ，A组

1 2.求双曲线y11过点(2,)的切线方程。

x2

10

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标

能利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数；

教学重点

会使用导数公式表求函数的导数，会使用导数公式表求简单复合函数的导数

教学难点

会使用导数公式求简单函数的导数。

一。【复习回顾】

几个常用函数的导数结论

二、【讲解新课】：

1、基本初等函数的导数公式

1.若f(x)c,则f(x)0;2.若f(x)xn(nQ*),则f(x)xn1;3.若f(x)sinx,则f(x)cosx;4.若f(x)cosx,则f(x)sinx;5.若f(x)ax,则f(x)axlnx;6.若f(x)e,则f(x)e;7.若f(x)logax,则f(x)18.若f(x)lnx,则f(x).x2、讲解例题

例1

假设某国家在20年期间的年平均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与

时间t（单位：年）有如下函数关系式

t

0xx

1;xlnap(t)p(15%)其中p0为t=0时的物价，假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）

3、导数运算法则

1.f(x)g(x)f(x)g(x);

2.f(x)g(x)f(x)g(x);

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

3..2

g(x)g(x)

4、讲解例题

例2

根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数yx2x3的导数. 解: 3y(x32x3)(x3)(2x)(3) 3x2.2

函数yx32x3的导数是y3x22.

11

练习：P85 练习2

三、【课堂小结】

1、基本初等函数的导数公式

2、导数运算法则

四、【书面作业】

五、【教后记】

3.3.1函数的单调性与导数

教学目标

会熟练利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

教学重点

会熟练利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

教学难点

证明单调性

一。【复习回顾】

（1）常函数：C'0(C为常数)； （2）幂函数

：(xn)'nxn1(nQ)

x)cosx(cosx)

sinx（3）三角函数

(sin： （4）对数函数的导数:

(lnx)11.

(logax).

xxlnaaxln（5）指数函数的导数:

(ex)ex.

(ax)aa(二。【创设情境】

a0,

1下图(1)表示高台跳水运动员的高度

h 随时间

t 变化的函数 h(t)4.9t26.5t10

的图象. 的图象,

图(2)表示高台跳水运动员的速度

v 随时间

t 变化的函数 v(t)4.9t6.5h

运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,

v(t)h(t)0.

②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数. 相应地,

v(t)h(t)0.

ot 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.

见课本P90图

结论：一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系

在某个区间(a,b)内,如果f(x)0 ,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增; 如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.

如果恒有f'(x)0，则f(x)是常数。

12

三. 【例题精讲】

例1 已知导函数f(x)

的下列信息: 当1 < x < 4 时,

f(x)0;

当

x > 4 , 或

x < 1时,

f(x)0;

当

x = 4 , 或

x = 1时,

f(x)0.

试画出函数f(x)的图象的大致形状.

例2判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)x33x; (2) f(x)x22x3;

(3) f(x)sinxx,x(0,);

(4) f(x)2x33x224x1.

练习：判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)x22x4; (2) f(x)exx;

(3) f(x)3xx3; (4) f(x)x3x2x.

例3

如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,

请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.

一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.如图,函数yf(x)

在(0,b)

或(a,0)

内的图象“陡峭”,在(b,)

或(,a)

内的图象平缓. 四。【课堂小结】

1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：

(1)求f’(x) (2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0) (3)确认并指出递增区间（或递减区间）

2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：

(1)求f’(x) (2)确认f’(x)在(a,b)内的符号

(3)作出结论

五。【书面作业】

六。【教后记】

13

§3.3.2函数的极值与导数

教学目标：

1.理解极大值、极小值的概念；

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；

3.掌握求可导函数的极值的步骤；

教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

教学过程：

创设情景

观察图3.3-8，我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？

放大ta附近函数h(t)的图像，如图3.3-9．可以看出h(a)；在ta，当ta时，函数h(t)单调递增，h(t)0；当ta时，函数h(t)单调递减，h(t)0；这就说明，在ta附近，函数值先增（ta，h(t)0）后减（ta，h(t)0）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，h(t)先正后负，且h(t)连续变化，于是有h(a)0．

3.3-8

3.3-9

对于一般的函数yfx，是否也有这样的性质呢？

附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号

新课讲授

一、

导入新课

观察下图中P点附近图像从y

y=f(x)

左到右的变化

P(x1,f(x1))

趋势、P点的函数值以及点P

位置的特点

Q(x2,f(x2))

o

x1

x

a

x3

b

x

y 函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大

二、学生活动

学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义.

三、数学建构

2 极值点的定义:

0 x 观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有

14

各点的函数值都大，f’(0)=0，而且在x=0附近的左侧f’(0)>0,右侧f’(0)<0，我们把0叫函数y=f(x)的极小值点；f(0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，而且在x=2附近的左侧f’(0)<0,右侧f’(0)>0，我们说f (2)是函数的一个极小值。

极大值点，极小值点统称为极值点，极大值和极小值，统称为极值。极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质。

思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

不一定，如f(x)x3,f(0)0.但由于无论x0还是x0，恒有f(x)0，也就是说yf(x)在一点的导数值为0是函数yf(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件。

从而我们得出结论(给出寻找和判断可导函数的极值点的方法,同时巩固导数与函数单调性之间的关系）：

若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)f(x0)是极大值；是极小值。

结论：x0左右侧导数异号

x0

是函数f(x)的极值点

f(x0)=0

四、数学应用

例1．（课本例4）求fx解：

因为fx13x4x4的极值 3y 13x4x4，所以

3f'xx24(x2)(x2)。

f'x0,x2,x2

下面分两种情况讨论：

（1）当f'x>0,即x2，或x2时；

（2）当f'x<0,即2x2时. 当x变化时，

f'x，fx的变化情况如下表：

o x x

y

y

,2

+ ↗

-2 0 极大值(-2,2) －

2 0 极小值2,

+ 28

3↘

4

3↗

因此，当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)函数fx28；

34。

313x4x4的图像如图所示。

3

15

y1f(x)=x3-4x+43

2O

x-2

课堂训练:求下列函数的极值

1

（

2）y8x3－12x26x1（1）yx

x让学生讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法：

一般地，如果函数yf(x)在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值：

①

确定函数的定义域； ②

求导数f(x)；[来源:Z#xx#k.Com]

③

求方程f(x)=0的根，这些根也称为可能极值点；

④

检查f(x)在方程f(x)＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法) 强调:要想知道

x0是极大值点还是极小值点就必须判断

f(x0)=0左右侧导数的符号

五：回顾与小结：

1、极值的判定方法；

2、极值的求法

注意点：

1、f(x0)0是函数取得极值的必要不充分条件

2、数形结合以及函数与方程思想的应用

3、要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)0左右侧导数的符号. 六：课外作业

16

3.3.3 函数的最大（小）值与导数

教学目标

1.使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间a,b上所有点（包括端点a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；

2.使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤. 教学重点

利用导数求函数的最大值和最小值的方法

教学难点

函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系

一、【创设情境】

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果x0是函数yfx的极大（小）值点，那么在点x0附近找不到

比fx0更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数

在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果x0是函数的最大（小）值，那么fx0不

小（大）于函数yfx在相应区间上的所有函数值．

二、【新课讲授】

观察图中一个定义在闭区间a,b上的函数f(x)的图象．图中f(x1)、f(x3)f(x5)、是极小值，f(x2)f(x4)，f(x6)是极大值．函数f(x)在a,b上的最大值是f(a)，，最小值是f(x3)．

1.结论：一般地，在闭区间a,b上函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么函数yf(x)在a,b上必有最大值与最小值．

2．“最值”与“极值”的区别和联系

(1)最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．

(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

3．利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

一般地，求函数f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求f(x)在(a,b)内的极值；

（2）将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在a,b上的最值

三、典例分析

例1．求fx13x4x4在0,3的最大值与最小值 3解：

由例4可知，在0,3上，当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)又由于f04，f31，因此，函数fx最小值是4，

313x4x4在0,3的最大值是4，34．

313x4x4在0,3上的图象得到直观验证．

3上述结论可以从函数fx课堂练习

1．下列说法正确的是(

) A.函数的极大值就是函数的最大值

B.函数的极小值就是函数的最小值

C.函数的最值一定是极值

D.在闭区间上的连续函数一定存在最值

17

2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) (

) A.等于0

B.大于0

C.小于0

D.以上都有可能

四、【课堂小结】

1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；

2．函数f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；

3．闭区间a,b上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值

4．利用导数求函数的最值方法．

五、【书面作业】

六、【教后记】

§3.4生活中的优化问题举例（2课时）

教学目标：

1．

使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用

2．

提高将实际问题转化为数学问题的能力

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学过程：

一．创设情景

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

二．新课讲授

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

[来源学*科*网Z*X*X*K]利用导数解决优化问题的基本思路：

18

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

三．典例分析

例1．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示2的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

128dm,此时四周空白面积为

x1285122)1282x8,x0。

S(x)(x4)(xx 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为

求导数，得

512。

x2512'令S(x)220，解得x16(x16舍去）。

x1281288。

于是宽为x16S'(x)2当x(0,16)时，S'(x)<0；当x(16,)时，S'(x)>0. 因此，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

4

yfr0.2r30.8r23r320.8r3r,0

62令fr0.8(r2r)0

解得

r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

19

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）半径为2cm

时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r3时，利润才为正值．

当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm

时，利润最小．

例3．磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．

（1）

是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）

r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道Rr。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大m2r存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量

nRr2r2r(Rr)

×f(r)mmnn （1）它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存不存储任何信息，故磁道数最多可达储量越大．

（2）为求f(r)的最大值，计算f(r)0．

f(r)2R2r

mn令f(r)0，解得rR

2当rRR时，f(r)0；当r时，f(r)0．

22

20

R2R2因此r时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为

2mn4例4．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

2S=2πRh+2πR

V，则

R2V22V2S(R)= 2πR+ 2πR=+2πR

R2R2V令

s(R)2+4πR=0 R由V=πRh，得h2[来源:Zxxk.Com]解得，R=3VV，从而h==2R2V4VV=3=23

V2(3)2即h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

S2R2 提示：S=2Rh+2Rh=

2R211S2R2R2=(S2R2)RSRR3 V(R)=222RV'(R))=0S6R2

6R22Rh2R2h2R．

例5．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y

＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．

【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x

＞0，y

＞0，

则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），

在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜

x

＜2．

设矩形的面积为S，则S

＝2 x（4－x2），0＜

x

＜2．

[来源:Z。xx。k.Com]由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x

＝x

＝23，易知

34是S在（0，2）上的极值点，

3283和．

33即是最大值点，

所以这种矩形中面积最大者的边长为【点评】

应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中

21

如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．

四．课堂练习

1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大3容积1.8m）

2．课本练习：课本p104

五．回顾总结

1．利用导数解决优化问题的基本思路：

建立数学模型

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。

六．布置作业

课本p104 5，6 七、教后记

22