1.1.3 四种命题间的相互关系教学实录与评析

1.1.3 四种命题间的相互关系

一、教学目标

1．能利用四种命题间的关系判断命题的真假; 2．

能利用四种命题间等价关系解决简单问题. 二、教学重点、难点

重点：四种命题间的关系及真假性判断

难点：命题真假的等价性

三、教学思路

【自我预习】

1.四种命题间的关系

微提醒

在判断一个命题的真假性时,若命题本身难以判断,可以转化为判断其逆否命题的真假来说明原命题的真假.

微课堂·微思考

【思考1】能不能说“若p,则q”是逆命题或否命题?为什么?

提示:不能,逆命题或否命题都是相对于原命题而言的.只有确定了原命题,才有逆命题、否命题的说法,它们与原命题互为逆命题、互为否命题.

【思考2】如何利用原命题的逆命题写出原命题的逆否命题?

提示:原命题的逆命题与原命题的逆否命题互为否命题,所以只需写出原命题的逆命题的否命题,即得原命题的逆否命题.

【自我总结】

1.四种命题的相对性

四种命题中原命题具有相对性,任意确定一个为原命题,其逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以“互逆”

“互否”“互为逆否”具有相对性.

2.四种命题中的“互逆”“互否”“互为逆否”关系

(1)两对互逆命题:原命题与逆命题,否命题与逆否命题.

(2)两对互否命题:原命题与否命题,逆命题与逆否命题.

(3)两对互为逆否命题:原命题与逆否命题,逆命题与否命题.

【自我检测】

1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是 (

)

A.若一个数是负数,则它的平方不是正数

B.若一个数的平方是正数,则它是负数

C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数

D.若一个数的平方不是正数,则它不是负数

【解析】选B.将原命题的条件和结论互换位置即得逆命题,则原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数,则它是负数”.

2.命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是

(

)

A.若a∉A,则b∉B

B.若a∈A,则b∉B

C.若b∈B,则a∉A

D.若b∉B,则a∉A

【解析】选B.命题“若p,则q”的否命题是“若非p,则非q”.注意“∈”与“∉”互为否定形式.

3.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为

(

)

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选B.易知原命题为真命题,从而逆否命题为真命题.因为逆命题为“若a>-6,则a>-3”,所以逆命题为假命题,所以否命题为假命题.从而真命题的个数是2.

4.“若sin α= ,则α= ”的逆否命题是_____

____,逆否命题是________命题.(填“真”或“假”) 【解析】“若sin α= ,则α= ”的逆否命题是“若

α≠ ,则sin α≠ ”,是假命题.

答案:若α≠ ,则sin α≠

假

类型一

四种命题的相互关系及应用

【典例】1.若p的否命题是命题q的逆否命题,则命题p是命题q的

(

)

A.逆命题

B.否命题

C.逆否命题

D.与p是同一命题

2.下列命题中: 世纪金榜导学号53162006

①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;

②若一个四边形对角互补,则它内接于圆;

③正方形的四条边相等;

④圆内接四边形对角互补;

⑤对角不互补的四边形不内接于圆;

⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.

其中,互为逆命题的有________;互为否命题的有___ _____;互为逆否命题的有________. 3.下列命题: 世纪金榜导学号53162007

①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题;

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题;

22④“若ac>bc,则a>b”的逆命题.

其中是真命题的是________(填序号).

【思路导引】首先,要熟练掌握四种命题间的相互关系,注意它们之间的等价性;其次,利用其他知识判断真假时,一定要对有关知识熟练掌握.

【解析】1.选A.设p:若A,则B,则p的否命题为若﹁A,则﹁B,从而命题q为若B,则A,则命题p是命题q的逆命题.

2.命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”; 命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”;命题⑤可改写为“若一个四边形对角不互补,则它不内接于圆”.所以,互为逆命题的有③和⑥,②和④;互为否命题的有①和⑥,②和⑤;互为逆否命题的有①和③,④和⑤.

答案:③和⑥,②和④

①和⑥,②和⑤

①和③,④和⑤

3.①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题;

③“梯形不是平行四边形”本身是真命题,所以其逆否命题也是真命题;

2222④“若ac>bc,则a>b”的逆命题是“若a>b,则ac> bc”,是假命题.所以真命题是①②③

答案:①②③

【解题流程】

【方法技巧】

判断四种命题之间四种关系的两种方法

方法一:利用四种命题的定义判断.

方法二:可以巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.

【变式训练】

2判断命题“若m>0,则方程x+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假.

2【解析】因为m>0,所以方程x+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0.所以原命题“若m>0,则方程2x+2x-3m=0有实数根”为真.

2又因为原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则方程x+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真.

【补偿训练】

命题“若﹁p,则q”是真命题,则下列命题一定是真命

题的是

(

)

A.若p,则﹁q

B.若q,则﹁p

C.若﹁q,则p

D.若﹁q,则﹁p

【解析】选C.命题“若﹁p,则q”的逆否命题为

“若﹁q,则p”.

类型二

等价命题在证明中的应用

22【典例】判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x+(2a+1)x+a+2≤0的解集是空集,

则a<2”的逆否命题的真假.

【思路导引】判断这个命题的逆否命题的真假,可先写出它的逆否命题再判断,也可以利用互为逆否命题的两个命题的等价性来判断.

【解析】方法一:原命题的逆否命题为“已知a,x为实数,若a≥2,则关于x的不等式22x+(2a+1)x+a+2≤0的解集不是空集”. 判断真假如下:

2222抛物线y=x+(2a+1)x+a+2的开口向上,判别式Δ=(2a+1)-4(a+2)=4a-7,

因为a≥2,所以4a-7>0,

即抛物线与x轴有交点,所以关于x的不等式

22x+(2a+1)x+a+2≤0的解集不是空集,故原命题的逆否命题为真.

方法二:先判断原命题的真假如下:

22因为a,x为实数,关于x的不等式x+(2a+1)x+a+2≤0的解集为空集,

22所以Δ=(2a+1)-4(a+2)=4a-7<0.

所以a< <2.

所以原命题是真命题.

因为互为逆否命题的两个命题同真同假,所以原命题的逆否命题为真命题.

【延伸探究】

1.将典例改为求逆命题的真假.

22【解析】原命题的逆命题为“已知a,x为实数,若a<2,则关于x的不等式x+(2a+1)x+a+2≤0的解集是空集”.

判断真假如下:

2222抛物线y=x+(2a+1)x+a+2的开口向上,判别式Δ=(2a+1)-4(a+2)=4a-7,

因为a<2,所以4a-7<1,当0≤Δ<1时,抛物线与x轴有交点,当Δ<0时,抛物线与x轴无交点,22所以关于x的不等式x+(2a+1)x+a+2≤0的解集不一定是空集,故原命题的逆命题为假命题.

22.判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x+

2(2a+1)x+a+2>0的解集是R,则a< ”的逆否命题的

真假.

【解析】先判断原命题的真假如下:

22因为a,x为实数,关于x的不等式x+(2a+1)x+a+2>0的解集为R,且抛物线22y=x+(2a+1)x+a+2的开口向上,

22所以Δ=(2a+1)-4(a+2)=4a-7<0.

所以a< .

所以原命题是真命题.

因为互为逆否命题的两个命题同真同假,

所以原命题的逆否命题为真命题.

【方法技巧】

“正难则反”的处理原则

(1)当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断真假时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.

(2)在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.

(3)四种命题中,原命题与其逆否命题是等价的,有相同的真假性,原命题的否命题与逆命题也是互为逆否命题,解题时不要忽视.

【核心素养培优区】

易错误区案例 四种命题的真假及应用

2【典例】已知p:lg(x-2x-2)≥0;q:0

若p是真命题,q是假命题,则实数x的取值范围是________.

【错解案例】因为命题p是真命题,

2所以x-2x-2≥1,

解得,x≤-1或x≥3.

因为命题q是假命题,

所以x<0或x>4,

综上,x的取值范围是x≤-1或x>4.

答案:x≤-1或x>4

2【即时应用】已知p(x):x+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围为________.

【解析】因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3;又p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8).

答案: [3,8)