1.2.1 充要条件教案设计（一等奖）

充要条件教学设计

台山一中 龚松增

充分条件和必要条件是数学的重要概念，同时因其抽象而使成为学生难于理解的内容，正确地理解和判断充分或必要条件是学习中必须解决的问题。

一、定义：

（1）若pq，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件；

（2）若pq，pq，则称p是q的充分而不必要条件；

（3）若pq，pq，则称p是q的必要而不充分条件；

（4）若pq，则称p是q的充要条件；q也是p的充要条件；

（5）若pq，pq，则p是q的既不充分也不必要条件. 说明：①“pq”就是说如果p成立，那么q一定成立，换句说：p成立时，一定能推出q成立。

②P是q的充分条件与q是p的必要条件，这两句话是完全等价的，它们是同一逻辑关系，“pq”的不同表述。

二、从命题角度理解（亦即与四种命题的关系）

（1）若原命题“若p则q”为真，即“pq”，逆命题“若q则p”为假，即“pq”，则p是q的充分而不必要条件；

（2）若原命题“若p则q”为假，即“pq”，逆命题“若q则p”为真，即“pq”，则p是q的必要而不充分条件；

（3）若原命题、逆命题都为真，即“pq”，则p是q的充要条件。

（4）若原命题、逆命题都为假，即“pq、pq”，则p是q的既不充分也不必要条件。

（5）由pq，知p是q的充分条件，q是p的必要条件，故充分条件与必要条件是相对的。

由pq，知p是q的充要条件，q也是p的充要条件，故充要

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条件是相互的。

三、从集合角度理解（亦即与集合的联系）

给定两个命题，要判定p是q的什么条件，可以考虑集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则有：

（1）若AB，则p是q的充分条件；

（2）若AB，则p是q的必要条件；

（3）若A＝B，则p是q的充要条件. 四、判断方法

1、定义域法

例1、设p：(x+2)2+(y-1)2=0 q：(x+2)(y-1)=0 问：p是q的什么条件？

解：易知，p：x= -2且y=1，

q：x= -2或y=1，有pq但qp，故p是q的充分不必要条件. 2、转移法（化简条件和结论法）

对于条件与结论都较为繁杂的命题，将其进行化简，得出一个表达简洁的等价命题，再进行判断。

例2、p=x2≥-x，q：|x|=x，问p是q的什么条件？

分析：p、q较为繁杂，将之化简再进行判断。

解：∵x2≥-xx2+x>0 x≤-1或x≥0 |x|=xx≥0 ∴p：x≤-1或x≥0 ，q：x≥0 ∴pq，pq ∴p是q的必要不充分条件. 例3、在△ABC中，p：A≤B，q：sinA≤sinB，问p是q的什么条件？

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解：设a,b分别为角A，B的对边

一方面sinA>sinB2RsinA>2RsinBa>bA>B 又A>Ba>bsinA>sinB 故p是q的充要条件. 3、集合法

例4、p：-x2+5x>0，q：|x-2|<5，问p是q的什么条件？

解：设A＝{x|-x2+5x>0}＝{x|0

原命题逆否命题，逆命题否命题，对于条件和结论都是否定式的命题，一般可用此法

例5、已知条件p：x+y≠-2，q：x,y不都是-1，问：p是q的什么条件？

分析：由于直接去判断较为困难，考虑原命题逆否命题，逆命题否命题，判断p能否推出q，等价于判断┑q能否推出┑p；判断q能否推出p，等价于判断┑p能否推出┑q。

解：p：x+y≠-2 q：x≠-1或y≠-1 ┑p：x+y= -2，┑q：x= -1且y= -1 ∵┑q┑p但┑p┑q ∴pq但qp ∴p是q的充分而不必要条件

5、传递法

例6、p是q的充分而不必要条件，q是r的充要条件，t是r的必要不充分条件，问t是p的什么条件？

解：因pq，qr，rt，所以pt

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故t是p的必要不充分条件。

充要条件这一节内容在中学数学的各个章节都得到渗透，因此理解“充要条件”的有关概念，牢固掌握其判断方法，有利于学好数学。

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