3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀教案板书设计

《创新设计》图书

3.2.1

直线的点斜式方程

[学习目标]

1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义.3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.

知识点一

直线的点斜式方程

名称

已知条件

示意图

方程

使用范围

点斜式

点P(x0，y0)和斜率k

y－y0＝k(x－x0) 斜率存在的直线

思考

直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？

答

不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示. 知识点二

直线的斜截式方程

1.直线l在坐标轴上的截距

(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b. (2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a. 2.直线的斜截式方程

名称

斜截式

思考

直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗？

已知条件

斜率k和在y轴上的截距b

示意图

方程

y＝kx＋b 使用范围

斜率存在的直线

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答

直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.

题型一

直线的点斜式方程

例1

求满足下列条件的直线的点斜式方程. (1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；

(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；

(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点. 解

(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，

由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4). (2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，

即y＋4＝0. (3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率

－4－3－7kPQ＝＝＝－1. 5－－27又∵直线过点P(－2,3). ∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2). 反思与感悟

1.求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0). 2.点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外. 跟踪训练1

(1)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为

. (2)已知直线l过点A(2,1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为

. 答案

(1)x＋y－1＝0

(2)x＋4y－6＝0 解析

(1)k＝tan 135°＝－1，

由直线的点斜式方程得

y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0. 3x－，

(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝441由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－.又41因为l过点A(2,1)，所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋4y－6＝0. 4题型二

直线的斜截式方程

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例2

根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5；

(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；

(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解

(1)由直线方程的斜截式可知，

所求直线方程为y＝2x＋5. (2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－由斜截式可得方程为y＝－3x－2. 33. 3(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，

∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，

∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3. 反思与感悟

1.本例(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y＝3x－3”.

2.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零. 跟踪训练2

已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的斜截式方程. 解

由斜截式方程，知直线l1的斜率k1＝－2，

又因为l∥l1，所以l的斜率k＝k1＝－2. 由题意，知l2在y轴上的截距为－2，

所以l在y轴上的截距b＝－2，

由斜截式，得直线l的方程为y＝－2x－2. 题型三

直线过定点问题

例3

求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限. 证明

方法一

直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，

∴直线l过定点(－2,3)，

由于点(－2,3)在第二象限，故直线l总过第二象限. 方法二

直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0. x＋2＝0，x＝－2，令解得

x＋y－1＝0，y＝3.

∴无论m取何值，直线l总经过点(－2,3). ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l总过第二象限.

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反思与感悟

证明直线过定点的基本方法：方法一点斜式的应用，方法二代数方法处理恒成立问题的基本思想. 跟踪训练3

已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，求k的取值范围. －6≤0，解

由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得3－2k≤0，

3k≥. 23k≥. 所以，k的取值范围是k2

函数与方程思想

例4

已知直线y＝kx＋b，当－3≤x≤4时，－8≤y≤13.求此直线方程. 分析

利用直线y＝kx＋b与一次函数的关系，并借助一次函数的图象和性质解题. 解

记f(x)＝kx＋b(k≠0). 当k＞0时，f(x)在[－3,4]上单调递增，

f－3＝－8，－3k＋b＝－8，k＝3，则即解得

f4＝13，b＝1.4k＋b＝13，

此时直线方程为y＝3x＋1. 当k＜0时，f(x)在[－3,4]上单调递减，

f－3＝13，－3k＋b＝13，k＝－3，则即解得

f4＝－8，b＝4.4k＋b＝－8，

此时直线方程为y＝－3x＋4. 综上所述，所求直线方程为y＝3x＋1或y＝－3x＋4. 解后反思

初中学习的一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，其中常数k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距，这恰是直线方程的斜截式，因此可以把直线方程转化为一次函数，利用函数的单调性求解.

忽略点斜式使用范围致错

例5

已知直线l过点(1,2)和(a，b)，求其方程. 分析

本题可利用点斜式求直线方程，注意对字母a进行讨论. 解

当a＝1时，直线l与x轴垂直，直线l的方程为x＝1；

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b－2当a≠1时，斜率k＝，由点斜式，得

a－1b－2直线l的方程为y－2＝(x－1). a－1解后反思

本题常见的错误是没有对a进行分类讨论，而是直接利用斜率公式求斜率，然后套用点斜式写直线方程.在利用点斜式或斜截式求直线方程时，要注意直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)的斜截式y＝kx＋b都是在斜率k存在的前提下才能使用的，要认真分析，避免漏解.

1.已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则|a＋b|等于(

) A.3

B.7

C.10

D.5 答案

A 解析

直线l的方程为2x－5y＋10＝0，令y＝0，得a＝－5，令x＝0，得b＝2，所以|a＋b|＝|－5＋2|＝3. 2.过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(

) A.2x＋y－1＝0

C.x＋2y－5＝0

答案

A 解析

所求直线与已知直线垂直，因此其斜率为－2，故方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0. 3.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(

) A.x－2y－1＝0

C.2x＋y－2＝0

答案

A 1解析

所求直线与已知直线平行，因此其斜率为，

21故方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0. 24.直线(2m2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则m的值是(

) 1A.2或

21C.－2或－

2答案

A 1B.2或－

21D.－2或

2B.x－2y＋1＝0 D.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－5＝0 D.x－2y＋7＝0

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4m＋1解析

令y＝0，解得x＝2. 2m－m＋34m＋11由已知得2＝1，则4m＋1＝2m2－m＋3，即2m2－5m＋2＝0.解得m＝2或(符合题22m－m＋3意).故选A. 5.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为

. 答案

x＝3 解析

直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在.又直线过定点P(3,3)，所以直线l的方程为x＝3.

1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y－y1＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整x－x1条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1. 2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.

一、选择题

1.直线方程可表示成点斜式方程的条件是(

) A.直线的斜率存在

B.直线的斜率不存在

C.直线不过原点

D.直线过原点

答案

A 解析

直线的点斜式方程中，斜率必须存在. 2.直线y＝x－1的斜率和在y轴上的截距分别是(

) A.－1,1

B.1,1

C.－1，－1

D.1，－1 答案

D 解析

直线y＝x－1为斜截式方程，其中斜率为1，在y轴上的截距为－1. 3.斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是(

)

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A.y＋3＝4(x－2)

C.y－3＝4(x＋2)

答案

A B.y－3＝4(x－2) D.y＋3＝4(x＋2) 解析

由直线的点斜式方程，知所求直线方程为y＋3＝4(x－2). 4.已知直线方程y－3＝3(x－4)，则这条直线经过的定点和倾斜角分别是(

) A.(4,3)，60°

C.(4,3)，30°

答案

A 解析

y－3＝3(x－4)，得直线过定点(4,3).因为斜率k＝3，所以倾斜角为60°. 5.与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(

) 1A.y＝x＋4

2C.y＝－2x＋4

答案

D 解析

∵直线y＝2x＋1的斜率为2，

1∴与其垂直的直线的斜率是－，

21∴直线的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D. 26.若经过原点的直线l与直线y＝3x＋1的夹角为30°，则直线l的倾斜角是(

) 3B.y＝2x＋4 1D.y＝－x＋4 2B.(－3，－4)，30°

D.(－4，－3)，60°

A.0°

B.60°

C.0°或60°

D.60°或90°

答案

C 17.方程y＝ax＋表示的直线可能是图中的(

) a

答案

B 111解析

直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距.当a>0时，斜率a>0，在y轴上的截距>0，aaa1则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a<0时，斜率a<0，在y轴上a11的截距<0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有选项B符合.故正确答案为B. aa二、填空题

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8.直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是

. 答案

(－∞，0] 解析

当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；

当k>0时，直线过第三象限；

当k<0时，直线不过第三象限. 379.和直线y＝－x＋垂直，且经过点(－2,0)的直线方程是

. 4448答案

y＝x＋

333734解析

因为y＝－x＋的斜率为－，所以与其垂直的直线的斜率为.故所求直线方程为y4443448＝(x＋2)，即y＝x＋. 33310.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是

. 答案

[－2,2]

解析

b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，

如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时b分别取得最小值和最大值. ∴b的取值范围是[－2,2].

111.已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围2是

. 答案

k≥1或k≤－1 解析

令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S1＝|k|·|－2k|＝k2. 2由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，

所以k的取值范围是k≥1或k≤－1. 三、解答题

12.是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5? 解

假设存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5. 由题意可知直线l的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k(k≠0)，

则直线方程为y＋4＝k(x＋5)，则分别令y＝0，x＝0，

－5k＋4可得直线l与x轴的交点为(，0)，

k与y轴的交点为(0,5k－4). 因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，

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1－5k＋4所以||·|5k－4|＝5，

2k－5k＋4所以·(5k－4)＝±10，

k即25k2－30k＋16＝0(无解)或25k2－50k＋16＝0，

82所以k＝或k＝，所以存在直线l满足题意，

5582直线l的方程为y＋4＝(x＋5)或y＋4＝(x＋5)，即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0. 5513.已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点；

(2)当－3

由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1). (2)解

设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，

若使当－3

f－3≥0，需满足

f3≥0.－3k＋2k＋1≥0，即

3k＋2k＋1≥0.

1解得－≤k≤1. 51所以，实数k的取值范围是－≤k≤1. 5