小结教学实录及点评

“以学定教 顺学而导”

——《直线与方程的章末小结》教学设计

杨金增

【摘要】教学设计以新课程“以学定教、顺学而导”的教育理念，来指导教学实践，充分体现了“育人为本”。基于《前测》找准教学起点，在充分关注学生实际情况的基础上，整合教学内容为“一梳、三用”，通过变式教学与探究式教学相结合的模式，采用学生自主、合作、探究等学习方式，突出了问题的引导与活动的设计，使得整个教学过程在问题串的层层推动下，充分调动学生主动参与教学活动的积极性，引导学生思维向纵深发展，深化了学生对“两概念”，“五形式”，“三公式”的理解。同时，在教学中让学生欣赏数学的美和渗透数学文化，提高了学生学习数学的兴趣，从而达到了复习课的有效性和持续发展学生数学能力的目的。

一、【教材分析】

1、教学内容

总结归纳第三章的基本知识和方法，使学生基本知识系统化、结构化，基本方法条理化，加深理解解析法，体会数形结合、分类讨论、化归的数学思想。

2、地位与作用

本章作为高中解析几何入门知识，在解析几何中，直线是最简单的曲线，直线方程也是最简单的方程，因而直线与方程是解析几何中比较重要和基础的内容。一方面，“直线与方程”是继初中学过“一次函数及其图像”之后，系统学习直线倾斜角与斜率、两直线的位置关系等知识。另一方面，平面解析几何联系着“代数学”和“几何学”，通过本章学习领悟解析几何的基本研究方法，即代数问题几何化，几何问题代数化，为今后学习直线与圆、圆锥曲线打下基础，所以本章具有承前启后的作用。

3、教材整合

在对教材整合上，我把章末小结和学生前测中暴露的错误和学生提出的问题进行灵活整合，编拟出适合本班学生去研究的原创问题，这不仅充分调动起了学生参与数学复习活动的积极性，而且让学生在纠错中主动复习建构知识体系，从而提高了本节课教学的针对性和有效性。

二、【学情分析】

为了更好地把握学情，专门对学生进行前测。《前测题》是根据直线与方程这章的教学目标和复习内容，紧扣知识的易混点、易错点来设计的，并提前作为家庭作业布置给学生进行测试，为本节复习课提供了客观依据。

1、知识基础

学生对直线与方程的知识有一定的储备，但对直线的倾斜角与斜率的关系，直线方程各种形式适应条件把握不准确，斜率没有形成知识体系，对解析几何的基本研究方法有一定的了解，仍需进一步构建知识体系，提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力。 2、认知水平和能力

学生具有一定的分析问题、探究问题的能力和归纳知识与方法的能力，已形成较好的参与和合作意识，有利于本节复习课的开展。

3、学生习惯和素养

我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能主动积极地参与问题讨论，并能进行一定的总结概括，具备一定的几何学习经验以及利用数形结合的方法解决问题的能力。

前测题

《第三章

直线与方程章末小结》前测题

1. ①直线y2，倾斜角为______，斜率________；

②直线x2，倾斜角为______，斜率________；

③直线完成方式

课

前

自

主

完

成

活动内容和目的

教师对学生的认知基础和知识漏洞了然于胸。

本节复习课正是根据学生的学习情况，基于前测反馈信息来设计和组织有意义的教学活动。

3x3y10，倾斜角为______，斜率________；

④“每条直线都有唯一

一个倾斜角与之对应，也有唯一

一个斜率与之对应”说法是否正确？

2. ①倾斜角的范围是___________. ②“倾斜角增大时，斜率也增大”说法是否正确？

③已知点A（2,1），B（1,2），直线yax(xR)与线段AB有交点，则直线的斜率范围________. 3. 用两点式表示过点P(3,2),Q(n,6)的直线方程为__________. 4. 过点P(3,1)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________. 5. 已知ABC中，点A(5，-1)，B(1，1)，C(2,4)，求：

（1）AB边上的高所在直线方程；

（2）AB边上中线所在直线方程；

（3）若CD⊥AB且CB//AD，求点D 的坐标.. 6. 求过点P(2,1)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为5的直线方程.

从条件与结论思考，题5和题6还可作怎样的变式，你能提出新的问题吗？同学间可合作探究完成。

小

组

合

作

探

究

三、【目标分析】

根据教材分析和和学情分析，结合学生已有的认知特点，确定如下

1、教学目标

(1)利用翻转课堂的模式让学生在课前通过前测，进行知识梳理，完成对本章知识的初步储备。

（2）通过课堂“一梳”，“三用”环节，深化学生对“两概念”，“五形式”，“三公式”的理解。

(3)通过学生提出问题——解决问题，强化解析法，体会数形结合、分类讨论、化归转换思想。

2、教学重难点

重点：（1）理清本章知识脉络（建构知识结构）；（2）熟悉直线方程和两直线位置关系及应用； 难点：体会数形结合思想方法在数学解题中的运用。

3、重难点解决策略

重难点解决策略：本课在设计上基于学生前测反映出的学情，从解析几何方法应用的两个方面，即代数问题几何化和几何问题代数化，采用由特殊到一般、从具体到抽象、逆向思维、化归类比等教学策略，通过学生提问和教师不断变式追问，学生自主思考和互动研讨，借助多媒体和几何画板的直观演示，强化学生对图形直观的理解认识，突出渗透数形结合的思想方法，从而突破教学难点。

四、【教法与学法】

1、以新课程的理念指导教学实践，以学定教，基于前测来整合教学资源，充分调动学生主动参与数学复习活动的积极性，把教师的教转化为学生的学。因此，本课采用变式教学与探究式教学相结合的模式，突出问题的引导和活动的设计。

同时，借助多媒体辅助教学，采用几何画板教学，利用几何画板体现图形运动变化的优势，增强学生对图形的直观理解。

2、直线与方程是解析几何中较为基础的内容，围绕学生在前测中提出的问题，充分发挥学生的主动性，开展自主、合作、探究学习，归纳构建知识结构，运用数学知识与方法来提高解决问题的能力。

五、【教学过程分析】

《义务教育数学课程标准》指出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有经验为基础。所以，将围绕在学生思维最近发展区提出问题，设计和组织教学活动。

1、教学流程

环节一

“梳理”

（8分钟）

环节二

“正用”

（10分钟）

环节三

“逆用”

（8分钟）

环节四

“活用”

（12分钟）

环节五

“小结”

(2分钟)

2、教学过程

教学环节

（环节一）

“梳理” 前

测

反

馈，

构

建

知

识

网

络

教学活动

（前测题1④

）

“每条直线都有唯一

一个倾斜角与之对应，也有唯一

一个斜率与之对应”说法是否正确？

（正确）

（前测题3）用两点式表示过点1）学生纠错，教师可追问此题出错的“陷阱”在哪儿，说出错因本质，并作出正确的解题思路。

学生体会倾斜角与斜率的关系，注意斜率不存在的情况。

注意直线方程的适用范围。

设计意图

本环节利用学生暴露的错误资源，让学生在纠错中形成正确的思维方式，进而通过梳理本章知识，构建起学生的知识网络，形成正确的认知结构，为下一环节做好知识方面的充分准备。

P(3,2),Q(n,6)的直线方程为

y2x3

62n3_____________.

（前测题4）过点P(3,1)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为

xy1

44__________. 截距相等容易忽略“零截距”的情况，利用直线的截距式解题时，要防止由于“零截距”造成漏解的情况。

（知识结构图）详见附图1 2）围绕学生前测中的知识结构图，开展学生学习活动:合作交流→代表展示→师生共评→形成认知

（环节二）

“正用” 由

形

到

数，

几

何

问

题

代

数

化

学生自主学习→学生中，点A(5，-1)，相互交流→学生归纳B(1，1)，C(2,4)，求点D，使点D到A、方法

B、C三点距离相等.

（备注：源自学生，前测题5的变式1）

（练习1）已知ABC变式1即求ABC的外心。

练习1源自学生对前测题5的进行的变式1。比较基础，鼓励学生自主提问并解决问题，巩固两条直线的位置关系及中点公式。

体现的主要解题策略是解析法，即几何问题代数化，这是解析几何重要的基本研究方法。

教师引导学生注意题中，点A(5，-1)，干“使A、B、C、D四B(1，1)，C(2,4)，求点D坐标，使A、B、点构成平行四边形”与

C、D四点构成平行四边形，并求此平行“构成平行四边形四边形的面积. （备注：教师改编，前ABCD”是有区别的，进测题5的变式2）

行分情况讨论。

例一 已知ABC变式2构造平行四边形，利用两条直线位置关系—平行及两直线的交点和中点坐标公式求点的坐标，再利用点到直线的距离等价于两平行线间的距离，从而求面积。注意D点的位置有三种情况，面积都相同，变化中又存在不变，让学生体会数学的美，渗透分类讨论、数形结合的思想方法。

本环节设计在环节二之后，引导学生进行逆向思维，将某些代数问题放在适当的坐标系中也具有某种几何意义。妙用斜率公式求代数式的最值，引导学生欣赏数学的结构美和方法美！渗透了化归、数形结合的数学思想方法。

例二动点在一段曲线段上运动，练习2变式成在一个矩形区域内运动，若再把定点放在坐标轴上，就要注意斜率不存在的情况，设置为探究作业供学生课后思考，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。

本环节是基于环节二“正用”和环节三“逆用”基础上的拓展训练。其中，练习3是学生根据前测题5提出的变式，由于有一定的难度，我通过精心设置例三为练习3搭桥，突破难点。

例三，从问题角度看，研究“最值”问题是数学应用优化的价值（环节三）

“逆用” 由

数

到

形，

代

数

问

题

几

何

化

教师引导学生观察所求分式的结构，鼓励学生大胆联想斜率公式。

y1yx22x2(1x1)，求x2

的最大值和最小值。（备注：教师改编，

前测题2③的

变式1）

（练习2）已知实数满足学生自主探究→同桌y1交流学习→教师巡视1x1,1y2，求的取值指导

x2范围. （备注：教师改编，前测题2③的

变式2）

例二 已知实数x,y满足（环节四）

“活用”

拓

展

延

伸，

助

力

“

例三 过点P（2，1）的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程. （备注：教师改编，前测题6的变式1）

（练习3）过直线过点P（2,1）, 且与两坐标轴围成的三角形的面积为S, 当S取不同的值时直线的条数有怎样的改变？（备注：源自学生，前测题6的变学生合作探究→教师巡视指导→学生展示交流→学生总结提升

通过画图，加深学生数形结合思想方法的体验

探

究

”

式2）

所在，从内容方面看综合了解析几何、函数、不等式等重要内容，能够形成有效的知识联系，从数学思想看本题渗透了数形结合、函数思想。由于入口宽，

学生容易着手，能留给学生较大的探究空间。

若运用函数的思想方法求解，要刻画绕定点P（2,1）运动的直线l，如何选择变量是解决本题的关键。

如果学生解决起来有困难，我将利用几何画板为学生演示直线l绕定点运动的过程，让学生更生动直观地感受所围三角形面从而积的变化情况。

（备用题）若直线l:k(x3)y40，与两坐标轴围成的三角形面积为24，问符合条件的直线有几条？

学生自主选择

体现分层教学

为了关注不同层次学生的学习需要，通过设置这道具有思考价值、探索性和挑战性的备用题，让复习课更有弹性，给学生留下更多延伸拓展的空间，加深学生对知识的运用能力。

（环节五）

回顾小结

“总结” 1、这节课学习的主要内容是什归

么？

纳

2、这节课揭示了什么数学思想？

小

3、你还有什么收获？还有疑惑结，

吗？

布

置

课

后

笛卡尔直角坐标系

作

业

学生回顾梳理，汇报本节课所学到的知识，完善原有认知结构，升华数学思想。还可以鼓励学生提出更多的问题。

引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结，不仅使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法得以归纳，对所涉及的数学思想也得以领会，这样既可以使学生完成知识建构，又可以培养其思维能力。

渗透数学文化

欣赏动画制作

课后作业

（一）巩固作业

1、课本114页复习参考题（8、10、12）. （二）探究作业

2、已知：1x1,1y2，求学生课后作业

巩固作业强化基本技能的训练；探究作业拓展了学生数学视野，培养良好的思维品质。

巩固作业和探究作业两种设计体现了以学生为本，让不同的学生在数学上得到不同的发展的新课程理念。

y2的取值范围. x

六、【板书设计】

七、【教学设计说明】

1、本节课注重因材施教，基于前测学情进行整合教学内容，充分关注学生的易错点，编拟出适合学生去研究的原创问题，提高了教学的针对性和有效性。

2、突出学生是数学课堂学习活动的主体，教师是课堂学习活动的组织者，引导者和合作者。因此，在教学设计上，课前前测学生自主梳理知识，课内学生自主探究、归纳总结，注重培养学生自主梳理知识结构的能力。

3、以新课程理念指导教学实践，以学定教，基于前测学生提出的问题整合教学资源，采用变式教学与探究式教学相结合的模式，突出问题的引导和活动的设计，充分调动学生主动参与教学的积极性，在教学中让学生欣赏数学的美和渗透数学文化，提高了学生学习数学的兴趣。

附图1 知识结构图