1.1.3 四种命题间的相互关系优秀完整教案

1.1.2.四种命题及其相互间的关系

一．学习目标：

1．知识技能：

一．学习目标：

1．知识技能：

①让学生理解四种命题的概念,掌握命题的形式,能写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题

②分析四种命题的相互关系以及真假性之间的关系，会利用命题的等价性解决问题

二．重点与难点：

（1）重点：能写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题

（2）难点：分析四种命题的相互关系以及真假性之间的关系

三．学习过程：

1．提出问题

下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4) 的条件和结论之间分别有什么关系？

(1).若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

(2).若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

(3).若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

(4).若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。

2、先观察命题(1)与命题(2) 的条件和结论之间有什么关系？

(1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

(2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

答：可以发现命题(1)与(2)的条件与结论互换了

①引入逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。

②注：怎么理解“互”？哪些概念出现“互”？

答：2与2互为相反数，即2的相反数是-2，-2的相反数是2 同理，命题（1）（2）互为逆命题。命题（1）是命题（2）的逆命题，命题（2）是命题（1）的逆命题

③若原命题为：若p,则q，则它的逆命题为：若q,则p ④例：将命题“若a=0,则ab=0”的条件和结论互换，得到它的逆命题：若ab=0,则a=0 3、观察命题(1)与命题(3) 的条件和结论之间有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

答：可以发现(3)的条件和结论恰好是(1)的条件和结论的否定

①引入否命题的定义：一个命题的条件和结论是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题，其中一个叫原命题，另一个叫原命题的否命题. ②一般地，把条件p,结论q的否定分别记作“┐p,┐q”,

读作“非p”、“非q”.因此若原命题为“若p,则q”，

则否命题为：“若┐p,则┐q”

③例如：若a=0,则ab=0否命题为：若a≠0,则ab≠0.

④注意：区分否命题和命题的否定

否命题：条件和结论都否定

命题的否定：只否定结论

⑤例如：若a=0,则ab=0否命题为：若a≠0,则ab≠0.

若a=0,则ab=0命题的否定为：若a=0,则ab≠0. 4、观察命题(1)与命题(4) 的条件和结论之间有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 答：（4）的条件恰好是（1）的结论的否定,（4）的结论恰好是（1）的条件的否定. ①引入逆否命题的定义：像这样的两个命题叫做互为逆否命题，其

中一个叫原命题，另一个叫原命题的逆否命题。

②原命题：“若p,则q”,则它的逆否命题为“若┐ q,则

┐ p”

③如“若a=0,则ab=0”的逆否命题为: 若ab≠0,则a≠0. 5、一般地，用p、q分别表示命题的条件和结论，用“

┐p,┐q”分别表示p和q的否定，同学们能写出命题的四种形式吗？

•

原命题：若p则q；

•

逆命题：若q则p；

•

否命题：若┐p则┐q；

•

逆否命题：若┐q则┐p 6.例题

例1．写出它们的逆命题、否命题与逆否命题

(1) 负数的平方是正数

分析：命题的条件是什么？结论是什么？改写成若p,则q的形式

如果一个数是负数，则它的平方是正数

解：逆命题：如果一个数的平方是正数，那么它是负数

否命题：如果一个数不是负数，那么它的平方不是正数

逆否命题：如果一个数的平方不是正数，那么它不是负数

(2) 若a和b都是偶数，则a+b是偶数

分析：“若a和b都是偶数”否定包括三种情况：①a是偶数，b

不是偶数；②a不是偶数，b是偶数；③ a不是偶数，b不是偶数

综合，即a和b不都是偶数

逆命题：若a+b是偶数，则a和b都是偶数

否命题：若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数

逆否命题：若a+b不是偶数，则a和b不都是偶数

例2 写出命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆命题、否命题、逆否命题。

解：逆命题：若 x = 0或 y = 0，则 xy = 0; 否命题：若 xy  0，则 x  0且 y 0;

逆否命题：若 x  0且y 0 ，则 xy0。

练习：写出它们的逆命题、否命题与逆否命题

(1)、对顶角相等

(2)、若ab=0,则a=0或b=0 22x+y=0，则 x ,y全为零 (3)、若 (4)、若x,y都是奇数，则x+y是奇数

7、(1).若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

(2).若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

(3).若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

(4).若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。

①问：若把命题2看成原命题，则命题1是它的 —逆— 命题；

命题3是它的

—逆否—

命题；命题4是它的

—否—

命题；

②问：若把命题3看成原命题，则命题1是它的 —否— 命题；

命题2是它的

—逆否—

命题；命题4是它的

—逆—

命题；

③问：若把命题4看成原命题，则命题1是它的

—逆否— 命题；命题2是它的

—否—

命题；命题3是它的

—逆—

命题；

④由上可得四种命题之间的关系：

原命题（若p，则q）

互逆

互为逆否

逆命题（若q，则p) 否互

否命题（若非p，则非q) 互逆

逆否命题（若非q,则非p)

问：上面考查了四种命题之间的相互关系，它们的真假性是否也有一定的关系呢？

8.例题

例1、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。

（1）若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行

（2）对顶角相等

（3）若 x2=1，则

x=1（4）若x<3,则x>1.

原命题

（1）

真

（2）

真

（3）

假

（4）

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

①归纳可得，四种命题的真假性有且仅有上面四种关系. ②四种命题之间的真假关系：

即：原命题与逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假

原命题与逆否命题互为逆否命题；逆命题与否命题互为逆否命题

两个命题互为逆否命题，它们的有相同的真假性

两个命题互为逆命题或者否命题，它们的真假性没有关系

9、练习

练习1：若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断 一定正确的是（ B ）

A.命题p是真命题 B.命题p的否命题是假命题

C.命题p的逆否命题是一个假命题

D.命题p的否定是真命题

练习2：下列说法对不对？

（1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真√

（2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真√

（3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假×

（4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题一定为假×

10、例题

例2.设原命题是：当c>0时，若a>b，则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的真假

解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b（真）

否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. （真）

逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b. （真）

练习：

判断命题“若m>0,则方程 x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假。

11.

小结: 1.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用ㄱp和ㄱq分别表示p和q的否定。于是四种命题的形式就是：

•

原命题：若p则q；

•

逆命题：若q则p；

•

否命题：若┐p则┐q；

•

逆否命题：若┐q则┐p 2.

原命题与逆否命题互为逆否命题；逆命题与否命题互为逆否命题