习题2.1课程导入及其完整教案

教学片段标题：椭圆焦点三角形有关角的问题探究

学情分析：从学生的认知基础和认知结构看，第一，学生虽然已经学习了三角知识和基本不等式，但是对于利用三角和基本不等式处理关联的知识掌握参差不齐，甚至大部分学生没有这种意识；第二，如何把一个素未谋面的具体问题转化为熟悉的问题来解决这是一个关键，由于学生积累的经验还不够，这也是一个教学难点。第三，学生会感到结论太多，学过会忘记。鉴于知识储备及学生的差异，高效的组织教学将是一个突出的问题；其次学生虽然已对于简单的焦点三角形有所认识，但不可能从根本上去理解，在完成探究任务的同时，还要结合一些典型案例的处理，使学生经历较完整的自主发现的全过程，在过程中让学生收获快乐。

教学目标：

1.探究并理解焦点三角形有关角的有用结论，会应用

2.渗透转化、数形结合等数学思想，提高解决数学问题的能力

3.培养学生创新精神和自主学习，实践能力，体会学习的快乐

教学重难点：

1.将角的最值问题转化为其三角函数值的最值问题

2.结合基本不等式理解三角函数值最值的取得

3.综合各知识得出有用结论

教学过程：

（一）课题引入

（教师活动）由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作为焦点三角形。

设计意图：与这个三角形有关的问题是解析几何研究的热点，经久不衰，题型灵活多样。

x2y2题：椭圆1的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当 F1PF294为钝角时，点P横坐标的取值范围是_______。

设计意图：从习题入手，不陌生，并且让学生明白本节课内容有很强的实用价值。

（二）问题的分析与引导

问题分解：

x2y2问题1.

椭圆1的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当94F1PF2为直角时，点P的横坐标是_______。

问题2.

而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？

解题的关键在于点动，发现F1PF2的大小与点P的位置有关，究竟有何联系，成了大家探索的焦点。此时放出点P在椭圆上运动，学生观察变化规律。

性质一：当点P从右至左运动时，F1PF2由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，F1PF2达到最大。

问题3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？

提示：“这节课我们研究的是焦点三角形，在三角形中，求角的最值往往可转化为求什么的最值?”学生思考后回答：求某个三角函数的最值。

设计意图：将不熟悉问题转化为熟悉的问题，化未知为已知，激发学生的探索欲，提高学习兴趣。

问题4：解三角形中我们常用的理论依据是什么？

问题5：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经大家演算、试验，悟出“欲求F1PF2的最大值，只需求cosF1PF2的最小值”

|PF1|2|PF2|2|F1F2|2（面对cosF1PF2=

如何求最小值，有的同2|PF1||PF2|学尝试后发现若用两次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子变化的部分是|PF1|2|PF2|2，分母变化的部分是2|PF1||PF2|，二者的关系是

2222|PF||PF||PF||PF|2|PF||PF|4a2|PF1212121||PF2|

，2b2于是目标式可分成两部分1

，最后对|PF1||PF2|

利用均|PF1||PF2|值不等式，即可大功告成。

设计意图：本例很好地体现了三角函数及基本不等式的应用。

从而求得当|PF1||PF2|

，即点P与短轴端点重合时，cosF1PF2有2b2最小值为21，F1PF2有最大值。

a问题6：结合以上知识，你能给出引入课题的解题思路并计算出结果吗？

设计意图：让学生自我总结，得出解题方法，体会自主学习的快乐

3535此题结果为5,5

