1.1.2 简单组合体的结构特征ppt课件教学实录

第2课时

圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征

1.认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．

2．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

,

[学生用书P4])

1．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征

定义及结构特征

定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

特征：(1)圆柱的轴垂直于底面，所有母线互相平行且相等

(2)底面是平行且全等的两个圆面

定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥

特征：(1)圆锥的轴垂直于底面，所有母线长都相等

(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线段都是该圆锥的母线

图形及记法

圆柱

记作：圆柱OO′

圆锥

记作：圆锥SO

续

表

定义及结构特征

定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，叫做圆台

特征：(1)圆台两底面圆所在的平面互相平行，且两圆的半径不相等

(2)所有母线长相等且延长后交于一点

图形及记法

圆台

记作：圆台OO′

球

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球

特征：(1)球的表面是旋转形成的曲面

(2)球面上任意一点到球心的距离等于球的半径

记作：球O

2.简单组合体

(1)概念

由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．

(2)两种构成形式

①由简单几何体拼接而成；

②由简单几何体截去或挖去一部分而成．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．(

) (2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(

) (3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(

) (4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

2．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是(

) A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等边三角形

D．等腰直角三角形

答案：B 3．可以旋转得到如图的图形的是(

)

解析：选A.题图所示几何体上面是圆锥，下面是圆台，故平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成．

4．指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．

解：①是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的；②是由一个圆柱和两个圆台组合而成的；③是由一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的．

旋转体的结构特征[学生用书P5]

判断下列各命题是否正确．

(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；

(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．

【解】

(1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．

(2)正确．

(3)错误．应为球面．

(1)判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成；

②明确旋转轴是哪条直线．

(2)简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

1.(1)给出下列说法：

①圆柱的底面是圆面；

②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；

④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，

其中说法正确的是________．

(2)给出以下说法：

①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；

②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；

③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；

④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．

其中正确说法的序号是________．

解析：(1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．

(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．

答案：(1)①②

(2)①④

不规则平面图形绕轴旋转问题[学生用书P5]

如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(

)

【解析】

该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A. 【答案】

A

若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．

解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．

不规则平面图形旋转形成几何体的

结构特征的分析策略

(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．

(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．

2.已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．

解：(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．

(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．

(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示．

(4)以AD边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．

旋转体中的计算问题[学生用书P6]

已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求圆台的母线长．

【解】

如图是圆台的轴截面，

由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.

由A′O′SA′A′O′1＝，得SA′＝·SA＝×12＝6(cm)．所以AA′＝SA－SA′＝12－6＝6(cm)．所AOSAAO2以圆台的母线长为6 cm.

解决旋转体中计算问题的方法

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．

[注意]

在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．

3.圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积．

解：圆台的轴截面如图所示，O1，O2，O3分别为上底面、下底面、截面圆心，过D作DF⊥AB于点F，交GH于点E.

由题意知DO1＝1，AO2＝4，所以AF＝3.

GEDE2因为DE＝2EF，所以DF＝3EF，所以＝＝，

AFDF3所以GE＝2.

所以圆O3的半径为3，所以这个截面的面积为9π.

简单组合体的结构特征[学生用书P6]

观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．

【解】

图①是由圆柱中挖去一个圆台形成的；图②是由一个球、一个棱柱、一个棱台组合而成的．

简单组合体识别的要诀

(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．

(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式．

(3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．

4.如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法：

①由一个长方体割去一个四棱柱构成．

②由一个长方体与两个四棱柱组合而成．

③由一个长方体挖去一个四棱台构成．

④由一个长方体与两个四棱台组合而成．

其中正确说法的序号是__________．

解析：该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的．

答案：①②

1．旋转体的截面

(1)圆柱的截面

①平行于底面的截面是与底面全等的圆面．

②过圆柱轴的截面(轴截面)是一个由上、下底面圆的直径和母线所组成的矩形．

③平行于轴线的截面是一个由上、下底面圆的弦和母线所组成的矩形．

(2)圆锥的截面

①平行于底面的截面是与底面相似的圆面．

②圆锥的过顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形．

③圆锥的母线l、高h和底面圆的半径R组成一个直角三角形，圆锥的有关计算一般归结为解这个直角三角形，特别是关系式l2＝h2＋R2. (3)圆台的截面

①平行于圆台底面的截面都是圆面，如图(1)所示．

②过轴的截面(简称轴截面)是全等的等腰梯形，如图(2)所示．

③圆台的母线l、高h和上下两底面圆的半径r、R组成一个直角梯形，且有l2＝h2＋(R－r)2成立，圆台的有关计算问题，常归结为解这个直角梯形．

(4)球的截面

①球心和截面圆心的连线垂直于截面．

②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝R2－d2.

2．圆柱、圆锥、圆台的关系

1．如图所示的图形中有(

)

A．圆柱、圆锥、圆台和球

B．圆柱、球和圆锥

C．球、圆柱和圆台

D．棱柱、棱锥、圆锥和球

解析：选B.根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B. 2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是(

) A．圆锥

B．圆柱

C．球

D．棱柱

答案：D 3．下列说法中正确的是________．

①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；

②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；

③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．

解析：①错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以①不正确．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．

答案：②

︵4. 如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°，将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．

解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．

,

[学生用书P94(单独成册)])

[A

基础达标]

1．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转半周所得的几何体是(

) A．圆台

B．圆锥

C．圆柱

D．球

答案：B 2．下列说法正确的是(

) A．圆锥的母线长一定等于底面圆直径

B．圆柱的母线与轴垂直

C．圆台的母线与轴平行

D．球的直径必过球心

答案：D 3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是(

) A．圆柱

B．圆台

C．球体

D．棱台

答案：D 4．如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是(

)

A．圆锥

B．圆锥和球组成的简单组合体

C．球

D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体

答案：D

5. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(

)

A．①②

B．①③

C．①④

D．①⑤

解析：选D.一个圆柱挖去一个圆锥，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．

6．下列说法正确的是________．

①圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成；

②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

③圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．

解析：①错，圆台是直角梯形绕其直角边所在直线或等腰梯形绕其底边的中线所在直线旋转形成的；由母线的定义知②错；③正确．

答案：③

7．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．

解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝

1所以由题意可知·2r·h＝r42－r2＝8，

242－r2.

所以r2＝8，所以h＝22.

答案：22 8．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．

解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．

(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．

(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．

[B

能力提升] 9．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的(

)

解析：选B.由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B. 10．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是________．

解析：如图所示，设底面半径为r，

4若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4π2恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.

π42答案：或

ππ11．(选做题)圆锥底面半径为1 cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．

解：

圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC1A1如图．设正方体的棱长为x cm，则AA1＝x cm，A1C1＝2x cm.作SO⊥EF于点O，则SO＝2 cm，OE＝1 cm.因为△EAA1∽△ESO，

21－x2AA1EA1x所以＝，即＝.

SOEO12所以x＝

22，即该内接正方体的棱长为

cm. 22