3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计方案

第三章

直线与方程

3.1倾斜角与斜率（2课时）

一、内容及其解析

“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X轴正方向所成的角和角的正切值。之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、目标及其解析

目标定位：1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率

3、掌握过两点的直线的斜率公式。

目标解析：

1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X轴为基准，直线与X轴相交时，X轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。

2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角，会求直线斜率是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。

3、掌握过两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式k=

（x1≠x2）

三、问题诊断与分析

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对直线的倾斜角的概念及范围理解时会不糊不清

和当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难，产生这两个问题的原因是对倾斜角的概念理解不透彻和没有从定义上认真正理解和对新公式。tan(180)tan的运用还不灵活。要解决这一困难，就要让学生从开始就认真的从定义上理解倾斜角的概念和多用公式tan(180。)tan。其中理解倾斜角的关键是理解当直线与X职轴相交时倾斜角的概念是怎么定义的当直线不与X轴相交时又是怎么定义的。理解公式的tan(180。)tan的关键是多用该阶段只要求学生会用就行。

四、教学支持条件分析

1

本节课打算用多媒体进行教学，因为多媒体的教学更容易刻画直线在直线坐标系中的位置，直观明了。是学生更容易理解，并且多媒体教学的课容量大，大大提高了课堂的效率

五、教学设计

情景引入：初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线。我们知道一次函数的图像在直角坐标系中画出来就是一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗？这就是我们本节课研究的主要内容

问题1. 平面内确定直线的条件是什么？一点呢？

师生活动1：教师提问，学生动手画直角坐标系并过P作图观察并思考

结论：如图，过点P在直角坐标系中可以作出无数条直线。

这些直线的主要的共同点是都过点P，

不同点是这些直线与X轴的倾斜程度不同

问题2. 已知一点，如何确定直线？

由此可以定义直线的倾斜角

直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 并且当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00。

如图为直线l的倾斜角

直线l的倾斜角分别为：0角、锐角、直角、钝角。

问题3. 直线的倾斜角的范围：[0°,180°)

故

理解倾斜角的概念需要注意两点：

1.

直线倾斜角的定义包括两部分

（1）

当直线l与x轴相交时，定义它向上的方向与x轴正方向所成的角叫倾斜角，包括锐角、直角、钝角。

2

（2）

当直线与x轴平行或重合时规定倾斜角为0

2.

在平面直角坐标系中，一条直线对应唯一的一个倾斜角，倾斜程度相同的直线，倾斜角相等。倾斜程度不同的直线他们的倾斜角不同。故我们用倾斜角刻画直线的倾斜程度。

问题4.

日常生活中有没有与倾斜程度有关的量？

坡度

倾斜角α是从几何角度刻画直线倾斜程度,用代数方法如何刻画呢？

一个坡的坡度可近似看做一个直角三角形

如果我们以前进量所在的直线为x轴，点o为原点建平面直角坐标系，就是直线的倾斜角，也就是说我们可以用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度.

坡度（比）=升高量/前进量

即坡度就是倾斜角的正切值，这个正切值我们称为直线的斜率，

因此

直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率

斜率通常用小写的字母k表示，所以k=tan（≠90，=90正切值不存在）

当直线的倾斜角=45时，斜率k=tan45=1，当=tan135时，k=tan135

因初中学习锐角正切值的计算，因此可以直接给出公式当为锐角时。tan(180)ta，对于这个公式要求会用就行，后面的学习将会进一步推n导，因此tan135=tan(18045)tan45=—1

3

问题5：探究当在0度到90度变化时，斜率是如何变化的？当在90度到180度范围变化时，倾斜角的变化又如何？

下面请同学们计算：当直线斜率是以下角时，直线斜率是多少？

30、45、60，=120、135、150

=0、由公式可计算得

k=tan0=0、k=tan30=3k=3、k=tan45=1、k=tan60=3

tan120=tan(180-60)=-tan60=-3

k=tan135tan(18045)tan451

k=tan150tan(18030)tan303可以利用计算器计算当由锐角无限接近90度时k值是向正无穷靠近的并且正值，即当在0度到90度变化时随着倾斜角的增大斜率增大，而当由钝角无效接近90度时，k值是无限向负无穷靠近的并且为负值。即当在90度到180度范围变化时，随着倾斜角的增大斜率增大。

由此可知：

当为锐角时，斜率k=tan>0 当为钝角时，斜率k=tan<0 当为直角时，tan不存在，所以斜率k也就不存在

当=0时，斜率k=tan0=0

反过来

当直线的斜率k>0时，直线的倾斜角为锐角

当直线的斜率k<0时，直线的倾斜角为钝角

当直线的斜率k=0时，直线的倾斜角为0度角

当直线的斜率k不存在时，直线的倾斜角为直角

问题6.

每条直线都有倾斜角吗？每条直线都有斜率吗？

练习：1、已知下列命题：

①若α是直线l的倾斜角，则00≤α＜1800. ②若k是直线的斜率，则k∈R. ③任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. ④任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确的命题有

（

）

A

0个

B

1个

C

2个

D

3个

2、直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,则（

）

A k1

B k3

C k3

D k1

问题7：已知直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线P1P2与x轴不垂直，即x1≠x2，直线P1P2的斜率是什么？

【设计意图】：让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的斜率公式，同时加深学生对斜率概念的理解。

3

4

师生活动：下图中P1P2的水平距离是多少，垂直距离是多少？怎样表示的正切？

y

y PP2（x2，y2（x2，y2）

2）

P1（x1，y1）

P1（x1，y1）



X X

o o

（1）

（2）

小结：两点间斜率的计算公式ky2y1x（x1≠x2）。

2x1例1.

求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.

(1) A(3,2), B(-4,1)

(2) B(-4,1),

C(0,-1) 变式: 对于(1)

若求BA两点的斜率呢？

若把B改为D(2,2)呢？

若把B改为D(3,4)呢？

问题8. 斜率公式与P1P2两点的顺序有关吗？

特殊地,当直线与x轴,y轴平行或重合时，结论是否成立？

例2. 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别

为1及-3的直线l1及l2.

六、课堂小结

数形结合，分类讨论，类比

在解析几何中我们还可以学习哪些知识？

七、目标检测

1.判断下列说法是否正确

（1）在坐标系中，每条直线都有倾斜角

（2）在坐标系中，每条直线都有斜率

（3）一条直线与x轴的夹角就是直线的倾斜角

5

（4）一条直线的倾斜角越大它的斜率越大

（5两条直线的倾斜角相等，他们的斜率也相等

（6）两条直线的斜率相等，他们的倾斜角相等

2.已知直线的斜率，求它们的倾斜角

（1）k3

（2）k33

（3）k1

八、配餐作业

A组：课后练习：3,4 B组：课后练习：3,4，课本89页1,3 正规作业：课本89页：2,4

6