小结优秀教案

§3.2（小结）立体几何中的向量方法（二）——求空间角和距离 成都市龙泉中学

李琴

一、知识梳理

1．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

范围

求法

2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝

. 3．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小→→θ＝〈AB，CD〉．

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝

，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．

4.利用空间向量求距离

(1)两点间的距离

→设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB|＝

. (2)点到平面的距离

如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为→|BO|＝

.

●

课前热身

1．(2017·烟台质检)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(

) A．45°

B．135°

C．45°或135°

D．90°

12．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则21

l1与l2所成的角θ

π(0，]

2cos θ＝

a与b的夹角β

[0，π]

cos β＝

l与α所成的角为(

)

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

3．(2016·郑州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(

) A.5555

B.

C.

D.

5364●

例题精讲

题型一

求异面直线所成的角

例1

(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

如图所示正方体ABCD－A′B′C′D′，已知点H在A′B′C′D′的对角

线B′D′上，∠HDA＝60°.求DH与CC′所成的角的大小．

题型二

求直线与平面所成的角

例2

(2016·全国丙卷)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明MN∥平面PAB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

2

在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．

(1)求证：AB⊥CD；

(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

题型三

求二面角

例3

(2016·山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．

(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

1(2)已知EF＝FB＝AC＝23，AB＝BC，求二面角FBCA的余弦值．

2

(2016·天津)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2. (1)求证：EG∥平面ADF；

(2)求二面角O—EF—C的正弦值；

2(3)设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成3角的正弦值．

题型四

求空间距离

例4

如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝23，求点A到平面MBC的距离．

3

(2016·四川成都外国语学校月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．

(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；

(2)求B点到平面PCD的距离；

(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值PQ为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

QD

●

当堂检测

1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(

) A．120°

B．60°

C．30°

D．60°或30°

2．(2016·广州模拟)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为(

) A．150°

B．45°

C．60°

D．120°

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(

) 1232A.

B.

C.

D.

23324．(2016·长春模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(

) 12552A.

B.

C.

D.

55555．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1到平面BDE的距离为(

)

A．2

B.3

C.2

D．1 4