1.2.1 充分条件与必要条件教学实录及点评

1.2

充分条件与必要条件

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P9～P11的内容，回答下列问题．

(1)判断教材P9上方的两个命题的真假，并思考：

①当x>a2＋b2成立时，一定有x>2ab成立吗？

提示：一定有x>2ab成立．

②当ab＝0成立时，一定有a＝0成立吗？

提示：不一定，也可能b＝0. (2)阅读教材P11“思考”的内容，并思考：

①若p成立，一定有q成立吗？

提示：一定有q成立．

②若q成立，一定有p成立吗？

提示：一定有p成立．

2．归纳总结，核心必记

(1)充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

“若p，则q”是真命题

p⇒q p是q的充分条件

“若p，则q”是假命题

pq

p不是q的充分条件

q是p的必要条件

(2)充要条件

q不是p的必要条件

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

[问题思考] (1)x>3是x>5的充分条件吗？

提示：不是．因为x>3x>5，但x>5⇒x>3，因此x>3是x>5的必要条件．

(2)如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？

提示：不唯一，如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．

(3)若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？

提示：A＝B.

[课前反思] (1)充分条件的定义是：

；

(2)必要条件的定义是：

；

(3)充要条件的定义是：

.

知识点1

充分、必要条件的判断

[思考]

充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p，则q”、“若q，则p”的真假性有什么关系？

名师指津：当命题“若p，则q”为真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件；当命题“若q，则p”为真命题时，q是p的充分条件，p是q的必要条件；当上述两个命题都是真命题时，p是q的充要条件．

讲一讲

1．判断下列各题中p是q的什么条件．

(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC;

(2)p：x>1，q：x2>1；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

a(4)p：a

(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC；反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要条件．

(2)由x>1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p是q的充分不必要条件．

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

aaa(4)由于a

>1; 当b>0时，<1，故若a0，b>0，bbbaa<1时，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必bb要条件．

类题·通法

充分、必要条件的判断方法

判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．

练一练

1．判断下列各题中p是q的什么条件，并说明理由．

(1)p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d；

(2)p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限；

(3)p：x＝1，q：x2＝x；

(4)p：a>2，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数．

解：(1)a＋c>b＋d分条件．

(2)a>1，b>1⇒f(x)＝ax－b(a>0，a≠1)的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，f(x)＝ax－b(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限⇒a>1，b≥1，所以p是q的充分不必要条件．

(3)x＝1⇒x2＝x，而x2＝x⇒x＝0或x＝1，所以p是q的充分不必要条件．

(4)a>2⇒f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数，而f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数⇒a>1，所以p是q的充分不必要条件.

知识点2

[思考]

如何证明“p是q的充要条件”？

名师指津：证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题．

讲一讲

2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. [尝试解答]

充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，

∴方程一定有两个不等实根，分别设为x1，x2，

c则x1x2＝<0，

a∴方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，分别设为x1，x2，

c则由根与系数的关系，得x1x2＝<0，即ac<0. a综上，可知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

充要条件的证明

a>b且c>d，而a>b且c>d⇒a＋c>b＋d，所以p是q的必要不充

类题·通法

一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.

练一练

2．求证：1是关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的根的充要条件是a＋b＝－(c＋d)．

证明：充分性：∵a＋b＝－(c＋d)，∴a＋b＋c＋d＝0，∴a×13＋b×12＋c×1＋d＝0成立，∴x＝1是关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根．必要性：∵关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根为1，∴a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)成立．综上，1是关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的根的充要条件是a＋b＝－(c＋d).

知识点3

已知p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．

[思考1]

若p是q的充分条件，则A与B有什么关系？

名师指津：A⊆B. [思考2]

若p是q的充分不必要条件，则A与B有什么关系？

名师指津：AB. 利用充分、必要条件求参数的范围

[思考3]

若p是q的充要条件，则A与B有什么关系？

名师指津：A＝B. [思考4]

若p是q的既不充分也不必要条件，则A与B有什么关系？

名师指津：B讲一讲

3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

[尝试解答]

p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

A，且AB.

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

1－m≥－2，1－m>－2，故有或解得m≤3.

1＋m<101＋m≤10，

又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0

类题·通法

根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

练一练

3．若本讲中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件，

设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB. 1－m≤－2，1－m<－2，所以或

1＋m>101＋m≥10.

解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，

即实数m的取值范围是{m|m≥9}．

4．本讲中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？

解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

－2＝1－m，若p是q的充要条件，则方程组无解．

10＝1＋m，

故不存在实数m，使得p是q的充要条件．

——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————

1．本节课的重点是充分条件、必要条件、充要条件的判断，难点是充要条件的证明以

及利用充分条件、必要条件求解参数的取值范围．

2．本节课的易错点是分不清“充分条件”与“必要条件”造成解题失误，见讲1和讲3. 3．本节课要重点掌握的规律方法

(1)判断充分条件与必要条件的方法，见讲1. (2)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若A充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若B必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若AB，且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．

4．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解，见讲3.

A，则p是q的

B，则p是q的

课下能力提升(三)

[学业水平达标练]

题组1

充分、必要条件的判断

1．设{an}是等比数列，则“a1

的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

a1<0，解析：选C

设等比数列{an}的公比为q，若a1

a1>0，或所以数列{an}是递增数列；当数列{an}是递增数列时，有a11，

是“数列{an}是递增数列”的充要条件，故选C. π12．“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的(

) 62A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

πππ11π解析：选A

α＝＋2kπ(k∈Z)⇒cos 2α＝cos＋4kπ＝cos ＝；当cos 2α＝时，α＝kπ±.633226π1所以“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的充分不必要条件，故选A. 623．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(

) A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

由题意，得A /⇒B，B⇔C，C /⇒D，所以A不是D的充分条件；又D⇒C，C⇔B，B⇒A，所以A是D的必要条件，故选A. 4．已知向量a＝(x，y)，b＝(cos α，sin α), 其中x，y，α∈R.若|a|＝4|b|，则a·b<λ2恒成立的一个必要不充分条件是(

) A．λ>3或λ<－3

B．λ>1或λ<－1 C．－3<λ<3

D．－1<λ<1

解析：选B

由已知，得|b|＝1，所以|a|＝x2＋y2＝4，因此a·b＝xcos α＋ysin α＝x2＋y2sin (α＋φ)＝4sin(α＋φ)≤4(sin φ＝xb<λ2恒成立，所以λ2>4，解得λ>2或λ<22)．由于a·x＋y－2，因此a·b<λ2恒成立的一个必要不充分条件是λ>1或λ<－1.故选B. 题组2

充要条件的证明

5．函数y＝(2－a)x(a<2且a≠1)是增函数的充要条件是

(

) 3A．1

B.

D．a<0 解析：选C

由指数函数性质得，当y＝(2－a)x(a<2且a≠1)是增函数时，2－a>1，解得a<1.故选C. 6．求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，

因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，

即f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，

即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，

所以b＝0. 综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0. 题组3

利用充分、必要条件求参数的范围

17．设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的2取值范围是________．

解析：∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，

1a≤2，1∴解得0≤a≤. 2a＋1≥1，10，

答案：

28．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.

2解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－. 32答案：－

39．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．

解：由(x－a)2<1，得a－1

⊆N.于是从而可得－2≤a≤7.故a的取值范围为[－2，7]．

a＋1≤8，

[能力提升综合练] 1．下列说法正确的是(

) A．“x>0”是“x>1”的必要条件

B．已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件

C．“a4>b4”是“a>b”的必要条件

D．在△ABC中，“a>b”不是“A>B”的充分条件

解析：选A

A中，当x>1时，有x>0，所以A正确；B中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以B不正确；C中，当a>b时，a4>b4不一定成立，所以C不正确；D中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以D不正确．故选A.

π2．设0

) 2A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

π解析：选B

因为01，因此充分性不成立．

sin xsin x3．平面α∥平面β的一个充分条件是(

) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

解析：选D

当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D符合．

4．已知直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△ABO1的面积为”的(

) 2A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

1解析：选A

当k＝1时，直线l与圆O的交点是(－1,0)和(0,1)，则△ABO的面积S＝2111×1×1＝，所以是充分条件；当△ABO的面积S＝时，圆心O到直线l的距离d＝2，22k＋12|k|112|k|1所以|AB|＝21－d2＝，所以S＝××＝，解得k＝±1，所以不是必要21＋k2k2＋11＋k22条件，故选A. 5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2

解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)x)<0}，故有a>2. 答案：(2，＋∞) 6．下列命题：

①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；

②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件；

③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；

④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0 ”的必要不充分条件．

其中真命题的序号为________．

解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；

②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；

a2③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是11“两直线平行”的充要条件；

④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，

∴xy＝1且x>0，y>0. 所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必然成立，反之不然．

因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．

x|(a＋x)(1＋

综上可知，真命题是④. 答案：④

1，x≥a，7．已知函数f(x)＝函数g(x)＝x2－x＋1，求函数h(x)＝g(x)－f(x)有两个零0，x

点的充要条件．

2x－x，x≥a，解：函数h(x)＝g(x)－f(x)＝2

x－x＋1，x

13x－2＋>0，

当x

当x≥a时，函数h(x)＝x2－x的图象与x轴有两个交点(0,0)，(1,0)，故a≤0. 所以函数h(x)有两个零点的充要条件是a≤0. 4x＋3y－12≥0，8．设p：3－x≥0，x＋3y≤12，件，求实数r的取值范围．

4x＋3y－12≥0，解：设A＝x，y3－x≥0，，

x＋3y≤12B＝{(x，y)|x2＋y2>r2，x，y∈R，r>0}．

如图，集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以原点为圆心、r为半径的圆的外部．

设原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为d，

|4×0＋3×0－12|12则d＝＝. 55∵p是q的充分不必要条件，

12∴AB

，∴0

5120，. ∴实数r的取值范围是5

q：x2＋y2>r2(x，y∈R，r>0)，若p是q的充分不必要条