2.2.4 平面与平面平行的性质国家获奖教案

两个平面平行的性质（二）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．两个平面平行的性质．

2．两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义．

（二）能力训练点

1．利用转化的思维方法掌握和应用两个平面平行的性质．

2．应用类比的方法理解并掌握两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：掌握两个平面平行的性质及其应用；掌握两平行平面间的距离的概念，会求两个平行平面间的距离．

2．教学难点：掌握两个平行平面的性质及其应用．

3．教学疑点：正确掌握如何将两个平面平行的性质的研究转化为线线平行、线面平行、线面垂直的研究．

三、课时安排

本节课为第1课时，主要讲解两个平面平行的性质．

四、教与学过程设计

（一）复***面的位置关系及两个平面平行的判定

（一）复***面的位置关系及两个平面平行的判定

师：两个平面的位置关系有哪几种？

生：平行或相交．

师：两个平面平行的判定方法有哪几种？

生：第一种可根据定义（一般用反证法）．

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b＝0，a∥β，b∥β，则α∥β．

第三种可根据例1的结论，即：如图1－110，若α⊥AA＇，β⊥AA＇，则α∥β．

（二）两个平面平行的性质

师：今天我们研究两个平面平行的性质．根据两个平面平行直线和平面平行的定义可知：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．因此，在解决实际问题时，常常把面面平行转化为线面平行或线线平行．这个结论可作为两个平面平行的性质1：若α∥

1．两个平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

已知：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b．

求证：a∥b．

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师：要证明这个定理，有两种证法：直接证法和间接证法（即反证法）．下面请同学们书写直接证法，口述反证法．

生：（直接证法．）

∵α∥β，

∴α与β没有公共点．

∴a∥b．

（反证法．）

假设直线a不平行于直线b，因为直线a、b在同一个平面γ内，

公共点P，即α，β相交，这与“α∥β”矛盾，所以假设不成立，即a∥b．

师：这个结论可作为性质2：若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．下面我们再看一个例题．

2．例题

例2

一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．

已知：α∥β，l⊥α，l∩α＝A．

求证：l⊥β．

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师提问：证明直线与平面垂直的方法有几种？

师与生共同回忆：方法一，证明直线与平面内的任何一条直线都垂直；方法二，证明直线与平面内两条相交的直线垂直；方法三，证明直线的一条平行线与平面垂直．

比较几种方法，我们可以试着用第一种方法来证明．

证明：在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面，设γ∩α＝a．

因为直线b是平面β内的任意一条直线，所以l⊥β．

师：这个例题的结论可与定理“一个平面垂直于两条平行直线中的一条直线，它也垂直于另一条直线．”联系起来记忆，它也可作为性质3：若α∥β，l⊥α，则l⊥β．

3．两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离

师：象性质3这样的，和两个平行平面α，β同时垂直的直线l，叫做这两个平行平面α，β的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分叫做这两个平行平面的公垂线段．

如图1—113，α∥β．如果AA＇、BB＇都是它们的公垂线段，那么AA＇∥BB＇，根据两个平面平行的性质定理有A＇B＇∥AB，所以四边形ABB＇A＇是平行四边形，AA＇＝BB＇．

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由此，我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段的长度具有唯一性．与两平行线间的距离定义相类似，我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．两个平行平面间距离实质上也是点到面或两点间的距离，求值最后也是通过解三角形求得

4．练习（幻灯显示）

（1）如图1—114，平面α∥β，△ABC在β内，P是α、β

间的一点，线段PA、PB、PC分别交α于A＇、B＇、C＇，若BC=12cm，AC＝50cm，

AB＝13cm，且PA＇∶PA= 2∶3，则△

师提示：△ABC∽△A＇B＇C＇，且相似比为3∶2．

BB＇⊥β于B＇，若 AC⊥AB，AC与β成60°角，AC＝8cm，B＇

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师提示：可求A＇C＝4cm，又可证AB⊥平面AA＇C，且四边形 AA＇B＇B为矩形，∴ AB ＝ A＇B＇，AB∥A＇B＇．∴A＇B＇⊥平面AA＇C，从而A＇B＇⊥A＇C．在Rt△A＇B＇C中，

（3）（P．38中练习3）夹在两个平行平面间的平行线段相等．

已知：如图1—116，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．

求证：AB＝CD．

证明：∵AB∥CD，

∴过AB、CD的平面γ与平面α和β分别交于AC＇和BD．

∵α∥β，

∴BD∥AC．

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD．

师：这个练习的结论可作为性质4：夹在两个平行平面间的平行线段相等．

（三）总结

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这节课，我们不仅学***行平面的公垂线、公垂线段和距离的定义，还学***行平面的四个性质．此外，两平行平面的第五个性质：经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行．这节课学习的关键是利用两个平行平面的性质解题时，要注意常把面面平行的问题转化成线面平行或线线平行的问题．

五、作业

P．课本中习题A4、5、6

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