习题2.1教案公开课一等奖

曲线与方程

【知识提炼】

1.曲线的方程与方程的曲线的定义

一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解同时满足如下的两个条件:

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.(轨迹的纯粹性)

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程，那么这条曲线叫做方程的曲线（轨迹的完备性）

2. 点P(x0,y0)在曲线C上的判定。

P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0 【即时小测】

1.思考下列问题:

(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,会出现什么情况?举例说明. (2)如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是什么?

2.方程4x2-y2+6x-3y=0表示的图形是

(

)

A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0 C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0 D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=0 3.下列各组方程中表示相同曲线的是

(

)

A.x2+y=0与xy=0 B. xy＝0与x2-y2=0 C.y=lgx2与y=2lgx D.x-y=0与y=lg10x

4.如图,图形的方程与图中曲线对应正确的是

(

)

5.点A (m,m)

在方程x2+(y+1)2=4表示的曲线上,则m=________.

3【总结提升】

对曲线的方程和方程的曲线的理解

(1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点(纯粹性).

(2)“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,阐明符合条件的所有的点都在曲线上毫无遗漏(完备性).

【题型探究】

类型一 曲线与方程的概念

【典例】 1.已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上,那么(

)

A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x,y)=0

B.凡坐标不适合f(x,y)=0的点都不在曲线C上

C.不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x,y)=0

D.不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x,y)=0,有些不适合f(x,y)=0

2.分析下列曲线上的点与相应方程的关系:

(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|=2之间的关系.

(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间的关系.

(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系.

【方法技巧】判断方程是否是曲线的方程的两个关键点

一是检验点的坐标是否适合方程; 二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.

【变式训练】判断下列命题是否正确,并说明原因.

(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=x;

(2)已知A,B两点的坐标分别为(-1,0)和(1,0),则满足∠ACB=90°的动点C的轨迹方程为x2+y2=1.

类型二 由方程判断其表示的曲线

【典例】方程(2x+3y-5)(x3-1)=0表示的曲线是什么? 变1：把方程换成“2x－3－1 (2x+3y-5)=0”,其表示什么曲线?

变2：把方程换成“(2x+3y-5)[log2(x+2y)-3]=0”,其表示什么曲线?

2.判断方程表示曲线的注意事项

(1)方程变形前后要等价,否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线.

(2)当方程中含有绝对值时,常采用分类讨论的思想.

【补偿训练】如图所示,方程y=x 表示的曲线是

(

) 2x

类型三 曲线的交点问题

【典例】1.已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点,则a的取值范围是

A.a>1 B.01 D.a∈⌀

2.已知直线l:y=x+b与曲线C:y= 1x2 有两个公共点,求b的取值范围.

3.曲线y=-

与曲线y+|ax|=0(a∈R)的交点个数为__________. 4.已知曲线x+(y-1)=4与直线y=k(x-2)+4,求分别满足下列条件的k的取值范围:(1)有两22

个不同的交点.(2)有一个交点.(3)无交点. 5.已知曲线y=-x-2x+m与直线y=2x相交与不同的两点A,B,(1)求m的取值范围，（2）AB的长；（3）线段AB的中点坐标。

6.已知两点A（2，0），B（2，0），动点P在轴上的射影为Q，PAPB2PQ

求分别满足下列条件的k的取值范围:(1)有两

【方法技巧】求曲线交点的三个步骤

22

【变式训练】设曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点为P,那么曲线F1(x,y)-F2(x,y)=0必定

(

)A.经过P点 B.经过原点 C.经过P点和原点 D.不一定经过P点

【补偿训练】若直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线x2+y2=25上,则k的值是

(

)

A.1 B.-1 C.1或-1 D.以上都不对

易错案例 曲线与方程的关系

【典例】(2015·衡水高二检测)方程|x|+|y|=|xy|+1表示的曲线是

【防范措施】曲线与方程转化的等价性

(1)判断方程表示的曲线,要对方程适当变形,常见的变形方法有因式分解、讨论、配方等方法.

(2)变形过程中要注意与原方程的等价性,可以通过对方程的分析得出曲线的范围、组成、与坐标轴的交点、单调性、对称性等特征信息,如果可能则做出它的图形(可以是草图),结合图形分析.