第四章 圆与方程（通用）优质课教案设计

必修二第四章 4.1.1 圆的标准方程

教学目标

1.知识与技能：

（1）掌握圆的标准方程的形式；；

（2）能够根据题目给定条件求圆的标准方程；

（3）能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。

2.过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。

从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。

经历公理的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和平面的问题,关键是要使该问题是否满足点、直线、平面以及它们之间的关系，培养学生分析问题、解决问题的能力

3.情感态度价值观：

（1）空间教学的核心问题是让学生了解圆的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想

重点难点

1.教学重点：圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程；

2.教学难点：根据条件求圆的标准方程

一、引入新课

知识链接：

1．两点间的距离公式？

2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？

平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.

圆在我们的生活中无处不在，日出东方，车行天下，这些都是圆的具体表现形式．那么车轮为何设计为圆形，而不是其他的形状？

师生活动：若是方形，走起来颠簸，不舒服；不是圆形，转不起来.正是圆，可以让车轮上的每一点到轴心的距离相等，才保证了轮子转起来而不颠簸. 【设计意图】从身边的实例引入，激发学生学习兴趣，也为复习圆的定义做好铺垫. 问题1：什么是圆？

问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？

【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）．

问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？

【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题．

二、探究新知

问题4：已知圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r（其中a、b、r都

是常数，r0），如何确定圆的方程？

师生活动：类比直线点斜式方程的推导方法，引导学生回答求曲线的

方程的一般步骤．

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标；

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0；

(4)化方程f(x，y)=0为最简形式；

(5)说明化简后的方程就是所求曲线的方程．

师生活动：师生共同完成圆的标准方程推导

（1）建系设点：由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a,b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x,y)．

（2）写点集：根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．

O A M y x

（3）列方程：由两点间的距离公式得：(.

xa)(yb)r（4）化简方程：将上式两边平方得：(xa)2(yb)2r2． 方程(就是圆心是C(a,b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫xa)(yb)r做圆的标准方程．

【设计意图】让学生掌握圆的标准方程的推导方法,有学生自己化简得出结论便于学生理解记忆．

22222三、理解新知

圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中圆心为A(a,b)，半径为r．

222特别地，当圆心为原点O(0,0),圆的标准方程为x

yr强调：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a,b,r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

【设计意图】便于学生理解掌握圆的标准方程，为准确地运用新知，作必要的铺垫．

基础检测：

1. 说出下列圆的方程：

(1) 圆心在原点,半径为3

(2) 圆心在点C(3, -4), 半径为7

(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3) 2.说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：

(1) (x + 7)2 + ( y

 4)2 = 36

(2) (x

 a)2 + y

2 = m2

（m0）

(3) x2 + y2  4x + 10y + 28 = 0

【设计意图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标,半径长的关系．

四、运用新知

例1 写出圆心为A(2,3),半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,7),M2(5,1)是否在这个圆上．

分析：判断圆心是否在圆上，可以从计算点到圆心的距离入手．

解：圆心是A，半径长等于5的圆的标准方程是

(2,3) (

x2)(y3)25把点M，左右两边相等，点M的x2)(y3)25(5,7),的坐标代人方程((5,7)11坐标适合圆的方程，所以点M在这个圆上；把点M的坐标代人方程(5,7)(5,1)1222，左右两边不相等，点M的坐标不适合圆的方程，所(x2)(y3)25(5,1)22222以点M

不在这个圆上．

(5,1)2【设计意图】通过对圆的标准方程的直接应用，培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．

探究：怎样判断点M(x0,y0)在圆(xa)(yb)r上？圆内？还是圆外？

222xa)(yb)r(点在圆外

（1）(xa)(yb)r00xa)(yb)r(点在圆上

（2）(xa)(yb)r00xa)(yb)r(点在圆内

（3）(xa)(yb)r00【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出下列结论,培养学生分析问题、解决问题的能力．

变式训练：

1.点P(m,5)与圆xy25的位置关系（

）

Ａ．在圆外

Ｂ．在圆上

Ｃ．在圆内

Ｄ．在圆上或圆外

2.求经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)的圆的标准方程．

3.求圆心为(2,1)且与直线3x4y50相切的圆的标准方程．

【设计意图】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程．

例2 ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8)，求它的外接圆的方程．

分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．从圆的标准方程(xa)(yb)r

可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a,b,r三个参数．还可以先求圆心（是线段AB和线段BC的中垂线的交点），然后求半径，代入圆的标

22222222222222222222

准方程．

解法一：设所求圆的方程是(xa)2(yb)2r2

(1) 因为A(5,1),B(7,3),C(2,8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是

(5a)2(1b)2r2a2222(7a)(3b)r

b3

r5(2a)2(8b)2r2所以，ABC的外接圆的方程为 (x2)2(y3)225．

解法二：（师生共同完成）

因为A(5,1),B(7,3)，所以线段AB的中点D的坐标为(6,1)，直线AB的斜率kAB2，

因此线段AB的垂直平分线L1的方程是

y11(x6)，

2即

x2y80，

同理可得线段BC的垂直平分线L2的方程是

xy10．

圆心M的坐标是方程组

y x2y80

的解．

xy10L2

A O M x D B E C x2解此方程组，得

，

y3所以圆心M的坐标是(2,3)．

圆心M的圆的半径长

r|AM|L1

(52)2(13)25．

所以，ABC的外接圆的方程为 (x2)2(y3)225．

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：

方法一：代数法—待定系数法；

方法二：几何法—数形结合．

【设计意图】结合例2的理解，学生自己归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法，并比较两种方法的优劣．

例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2)，且圆心C在直线上l:xy10，求

圆心为C的圆的标准方程．

解法一：因为A(1,1)，B(2,2)，所以线段AB的中点D的坐标为,，直线AB的斜率kAB3212213． 21y l 113A 因此线段AB的垂直平分线m的方程是y， x232C 即x3y30．

O D B x x3y30圆心C的坐标是方程组的解． xy10解此方程组，得x3

，所以圆心C的坐标是3,2

y2(13)2(12)25． 22圆心为C的圆的半径长rAC所以圆心为C的圆的标准方程是(． x3)(y2)25解法二：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2．

222(1a)(1b)ra3222由题意得 

，

解得b2 (2a)(2b)rr225ab10所以所求圆的方程是(x3)(y2)25． 【设计意图】结合对例2的理解，找两位同学分别用两种不同的方法到黑板上解该题，让学生体会根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程，并比较两种方法的优劣，同时学生爬黑板板书解题过程，以规范学生的解题步骤．

22五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：

1．知识：（1）圆的标准方程的结构特点．

（2）点与圆的位置关系的判定．

(3) 求圆的标准方程的方法：

①待定系数法；②几何法.

2．思想：数形结合的思想．

教师总结: 圆的标准方程的推导方法用到了前面学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．

【设计意图】加强对学生学习方法的指导．

六、布置作业

1.阅读教材 P118-120； 2．书面作业

必做题：

P121

3,4 七、板书设计

4.1.1 圆的标准方程

1．圆的标准方程：

(xa)2(yb)2r2其中圆心为A(a,b)，半径为r．

课堂小结：

2．点和圆的位置关系：

例1.

例2.