第四章 圆与方程（通用）教学设计(教案)

第四章

圆与方程教学设计

广外附设外语学校

张黎明

【教学分析】

本章在第三章“直线与方程”的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系．在直角坐标系中建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法，通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合．坐标法是贯穿本章的灵魂，在教学中要让学生充分地感受体验．

【三维目标】

1．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题；掌握圆的标准方程和一般方程，加深对圆的方程的认识．

2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能用直线与圆的方程解决一些简单问题．

3．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式．

4．通过本节的复习，使学生形成系统的知识结构，掌握几种重要的数学思想方法，形成一定的分析问题和解决问题的能力．

【重点难点】

教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成．

教学难点：整理形成本章的知识系统和网络．

【教学过程】

一、导入新课

同学们，我们前面学习了圆、直线与圆、空间坐标系等知识，那么我们具体学了哪些知识点，有哪些重要的思想方法，哪些知识高考常考，应形成什么样的理念呢？为此我们利用一节课的时间进行系统的整理，帮助同学们构建知识系统和网络，掌握解题的思路和方法．

提出问题：

①圆的方程有哪几种形式？它们各自有什么特点？

②点与圆、直线与圆、圆与圆分别有什么样的位置关系？如何判断？

③如何用坐标法解决平面几何问题？

④怎样在平面直角坐标系的基础上建立空间直角坐标系？平面直角坐标系与空间直角坐标系中两点间的距离公式有何异同？

讨论结果：①圆的方程有标准方程和一般方程两种形式．

圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.它给出了圆心位置和半径大小．圆的标准方程含有

三个参数a、b、r，因此必须具备三个独立条件，才能确定圆的标准方程．

对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有当D2＋E2－4F＞0时才表示圆．圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0也含有三个参变数D、E、F，因此必须具备三个独立条件，才能确定圆的一般方程．

②点与圆的位置关系有点在圆外、在圆上、在圆内．

用点到圆心的距离和半径的大小及坐标与方程来说明的话应为：

当点到圆心的距离大于半径，点在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，点在圆外；

当点到圆心的距离等于半径，点在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；

当点到圆心的距离小于半径，点在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2

直线与圆的位置关系有相离、相切、相交．判断方法有：

方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系．

当Δ＞0时，直线和圆相交．

当Δ＝0时，直线和圆相切．

当Δ＜0时，直线和圆相离．

方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较．

当d＜R时，直线和圆相交．

当d＝R时，直线和圆相切．

当d＞R时，直线和圆相离．

圆与圆的位置关系有相离、相切、相交．判断方法有：

一是可以利用几何法，即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系．

二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况，解两个圆的方程所组成的二元二次方程组．若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离．

③用坐标法解决平面几何问题有三步曲：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

④过平面直角坐标系的原点作一条垂直于坐标平面的直线，就建立了空间直角坐标系，平面直角坐标系中两点之间的距离公式是d＝x2－x12＋y2－y12，空间两点之间的距离公式是d＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12，它们形式上相同，其不同点是多了一项，即与竖坐标有关的一项．

二、例题精讲

例1、求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程．

活动：学生阅读题目，理解题意，相互交流或讨论，教师引导学生考虑解题的方法，注意总结，因为条件与圆心有关系，因此可设圆的标准方程，利用圆心在直线2x－y－3＝0上，同时也在线段AB的垂直平分线上，由两直线的交点得出圆心坐标，再由两点间的距离公式得出圆的半径，从而得到方程．

解：方法一：设圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝r，由已知条件得2a－b－3＝0，222－a＋－b＝r，－a2＋－2－b2＝r2.2222

b＝1，解得r＝10.2a＝2，

所以圆的方程为(x－2)＋(y－1)＝10. 方法二：因为圆过点A(5,2)和点B(3，－2)，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，线1段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)．设所求圆的圆心C的坐标为(a，b)，则有22a－b－3＝0，1b＝－a－2

解得a＝2，b＝1.

所以圆心C(2,1)，r＝|CA|＝2－22＋－2＝10. 所以所求圆的方程为(x－2)＋(y－1)＝10. 点评：本题介绍了几何法求圆的标准方程，利用圆心在弦的垂直平分线上或者利用两圆相切时连心线过切点，可得圆心满足的一条直线方程，结合其他条件可确定圆心，由两点间的距离公式得出圆的半径，从而得到圆的标准方程．其实求圆的标准方程，就是求圆的圆心和半径，有时借助于弦心距、圆半径之间的关系计算，可大大简化计算的过程与难度．如果用待定系数法求圆的方程，则需要三个独立的条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法，其中选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方程形式，进而确定其中三个参数. 变式训练：圆：x＋y－4x＋6y＝0和圆：x＋y－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是(

) A．x＋y＋3＝0

B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0 答案：C(由平面几何知识知AB的垂直平分线就是连心线．)

例2两定点A、B相距为8，求到A、B的距离的平方和为50的点P的轨迹方程．

2222

(1)

(2) 图1 活动：学生先思考或讨论，回忆求轨迹方程的方法，教师及时引导，首先建立适当的直角坐标系，根据题中的等量关系即同一点出发的两切线间的关系，由直线与圆相切及勾股定理得出切线长，构成方程即可．

解：方法一：以AB中点O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图1(1)．

设动点P(x，y)、A(－4,0)、B(4,0)．

∵|PA|＋|PB|＝50，

∴(x＋4)＋y＋(x－4)＋y＝50. ∴动点P的轨迹方程为x＋y＝9. 方法二：以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图1(2)．

设动点P(x，y)、A(0,0)、(8,0)．

∵|PA|＋|PB|＝50，

∴x＋y＋(x－8)＋y＝50. ∴动点P的轨迹方程为(x－4)＋y＝9. 点评：求轨迹方程注意：

(1)求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标为(x，y)；

(2)求轨迹方程与求轨迹有区别，求轨迹方程得出方程即可，求轨迹得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形；

(3)建立的坐标系不同，同一曲线的轨迹方程不同，但轨迹图形相同．

求轨迹方程的方法有两大类——直接法和间接法．本题为直接法，将几何关系式|PA|＋|PB|＝50，直接“翻译”为含x、y的方程，这是最基本最重要的方法．

例3用解析法证明等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．

活动：学生审题，教师引导，解析法证明实质上是坐标法，建立适当的坐标系是关键，同时要紧扣坐标法解题的三步曲．

解：建立如图2的直角坐标系，设边长为2a，则A(0，3a)、B(－a,0)、C(a,0)，直线AB的方程为3x＋y＋3a＝0，直线AC的方程为3x＋y－3a＝0，直线BC的方程为y＝0. 222222222222222222

图2 设P(x0，y0)为△ABC内的任一点，则P在AC、AB的下方，在BC的上方，于是有|PD|＋|PE|＋|PF|＝|3x0－y0＋3a|3＋1＋y0＋|3x0＋y0－3a|3＋1＝3x0－y0＋3a＋y0－23x0＋y0－3a＝3a. 2所以是定值．

点评：注意坐标法解题的步骤．

知能训练

复习参考题

A组2、4、6、8. 【拓展提升】

设有半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进，A出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度都一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？

活动：学生阅读题目，理解题意，这是一个应用题，应首先建立适当的坐标系，结合几何知识解题．由于是圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，于是可以以村落中心为原点，以开始时A、B两人的前进方向为x、y轴，建立坐标系，这就为建立解析几何模型创造了条件，然后再准确设元，列出方程．

图3 解：以开始时A、B两人的前进方向为x、y轴，建立坐标系，由题意可设A、B两人的速度分别为3v km/h，v km/h，再设A出发x0

h后在点P处改变前进方向，又经y0 h在点Q处与B相遇，则P、Q两点的坐标为(3vx0,0)，(0，v(x0＋y0))，如图3所示．

由于A从点P到Q行走的时间是y0

h，于是由勾股定理有|OP|＋|OQ|＝|PQ|，有(3vx0)＋[v(x0＋y0)]＝(3vy0).化简整理得(x0＋y0)(5x0－4y0)＝0. 又x0＋y0>0，所以5x0＝4y0.①

0－vx0＋y0x0＋y0于是kPQ＝＝－.②

3vx0－03x03把①代入②得kPQ＝－.由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x0＋y0)的值就是问43题的答案，于是转化为“当直线y＝－x＋b与圆相切时，求纵截距b的值”．利用圆心到4切线的距离等于圆的半径，得4|b|15＝3，解得b＝(b>0)．因此A、B两人相遇的位置是2243＋4222222

3离村落中心正北3 km处．

4【课堂小结】

本章的知识点主要是实现由形到数的一种转变，所以在今后的学习中要把握关键，寻求规律，掌握方法，要时刻把握好直线与圆的综合问题、相交及求交点等问题的应用以及直线与圆的实际应用．

【作业】

复习参考题

B组2、3、5、6.