1.4.1 全称量词教学实录与评析

1．4

全称量词与存在量词

1．4.1

全称量词

1.4.2

存在量词

整体设计

教材分析

全称量词与存在量词是《课程标准》新增加的内容，旨在使学生认识这两类在现实生活中广泛使用的量词，会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假，从而为我们从量的形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法．

课时分配

1课时

教学目标

知识与技能

通过生活和数学中的实例，理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容．

过程与方法

通过生活和数学中的丰富实例，让学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

情感、态度与价值观

在学习新知的过程中，培养学生的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质．

重点难点

教学重点：理解全称量词与存在量词的意义.

教学难点：全称命题和特称命题真假的判定.

教学过程

引入新课

在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的语句：

(1)2x＋1是整数；

(2) x＞3；

(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；

(4)平行于同一条直线的两条直线互相平行；

(5)所有有中国国籍的人都是黄种人；

(6)对所有的x∈R, x＞3；

(7)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．

提出问题：上述语句是命题吗？假如是命题，你能判断它的真假吗？

活动设计：学生先独立思考，形成自己的初步结论，再通过学生之间的讨论形成最后答案．教师可以参与学生的讨论．

活动成果：(1)(2)不能判断真假，不是命题，(3)～(7)是命题．其中(3)(4)(7)是真命题，(5)(6)是假命题.

设计意图：通过学生对上述问题的思考，复习回顾命题的定义，并运用已学知识对命题的真假做出判断．

探究新知

提出问题1：请同学们思考一下，命题(3)～(7)有哪些共同特征？

活动设计：留给学生两分钟的思考讨论时间，学生自由发言．

活动成果：(5)～(7)命题中都含有“所有的”“任意”等表示全体的量词，命题(3)中隐含有量词，即任意两个全等的三角形，其对应边相等．命题(4)也含有隐含的量词，即平行于同一条直线的任意两条直线互相平行．

设计意图：通过学生对5个命题的对比思考，寻找其共同点，使学生对全称量词有一个初步认识．

提出问题2：问题1中的量词的含义是什么？含有这些量词的命题如何用符号语言表述？

活动设计：第一个小问题学生可以通过独立思考或小组交流解决，第二个小问题可以在教师的指导下通过阅读课本的相关章节找到问题的解决方法. 最后教师引导学生形成规范的概念．

活动成果：命题(3)～(7)都用到

“所有的”“任意一个”

这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．命题(3)～(7)都是全称命题．

通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)…表示，变量x的取值范围用M表示. 那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∈M, p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．

设计意图：通过提出问题，进一步探究答案，最后师生共同形成规范的全称量词及全称命题的定义，让学生感受从感性到理性的认识过程，体会符号语言准确、严密、简明、抽象的特点．

提出问题3：为什么说(5)(6)是假命题？说出你的理由．

活动设计：学生自由发言．

活动成果：命题(5)是假命题，因为存在一个(个别、部分)有中国国籍，但不是黄种人的人．于是可得命题1：存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人．

命题(6)是假命题，因为存在一个(个别、某些)实数(如x＝2), x≤3，也可以说至少有一个x∈R, x≤3.于是可得命题2：存在一个(个别、某些)实数x(如x＝2)，使x≤3(或至少有一个x∈R, x≤3)．

设计意图：通过问题的回答，形成命题1、2，引出存在量词的概念，同时为下一课时《含有一个量词的命题的否定》做准备．

提出问题4：观察上面得出的新命题1、2，它们有什么共同特征？

它们与全称命题有什么区别？

活动设计：学生自由发言．

活动成果：这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，在逻辑中，表示整体的一部分的词通常叫做存在量词，用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．命题1、命题2都是特称命题．特称命题

“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可以用符号简记为：0∈M，p(x0)．读作“存在M中的元素x0, 使p(x0)成立”．

全称量词相当于日常语言中“凡”“所有”“一切”“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”“有一个”“有些”“至少有一个”“至多有一个”等．

设计意图：类比教学可以使学生对全称量词与存在量词的定义有全面而深刻的认识，提升学生通过联想类比的方法去认识发现新知的能力．

理解新知

提出问题：判断下列命题是全称命题还是特称命题：

(1) 指数函数都是单调函数；

(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；

(3)∈{

x|x是有理数}，x2是有理数；

(4)∈{

x|x∈Z}，log2x>0. 活动设计：学生独立思考后自由发言．

活动结果：全称命题有：(1)(3)；特称命题有：(2)(4)．

设计意图：让学生知道，辨析一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有的量词，当不含量词时，则注意理解命题含义的实质．

运用新知

1判断下列命题中哪些为全称命题？哪些为特称命题？并判断其真假．

(1)任何一条直线都有斜率；

(2)有一个实数α，使得tanα无意义；

(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；

(4)凡圆内接四边形，其内对角互补．

思路分析：通过观察分析命题中所含量词是全称量词还是特称量词来判定命题是全称命题还是特称命题，然后在正确理解题意的基础上，根据已学数学知识判断命题的真假．

π解：(1)为全称命题，且是假命题，因为倾斜角是的直线斜率不存在．

2π(2)为特称命题，且是真命题，当α＝时，tanα无意义．

2(3)(4)为全称命题，且都是真命题. 证明略．

点评：要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假．

要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假. 即全称命题与特称命题之间可以相互转化，它们之间并不是对立的关系．

2判断下列命题是全称命题还是特称命题：

(1)负数的平方是正数；

(2)有的实数是无限不循环小数；

(3)有些三角形不是等腰三角形；

(4)每个二次函数的图象都与x轴相交．

思路分析：根据全称命题与特称命题的定义，逐个进行判断．

解：(2)(3)中分别含有存在量词“有的”和“有些”，因此是特称命题；

(1)的含义是“任意负数的平方是正数”，因此是全称命题；(4)中含有全称量词“每个”，因此是全称命题．

点评：判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词，当不含量词时，则注意理解命题含义的实质．

巩固练习

1．下列全称命题中是真命题的为(

) ．．．A．所有奇数都是质数

B．∈R，x2＋1≥1 C．若x是无理数，

则x2也是无理数

D．1x∈R，x＋≥2 x2．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是(

) A．x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy

B．x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy C．x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy

D．x<0，y<0，都有x2＋y2≤2xy 答案：1.解：A是假命题．比如实数1是奇数，但1既不是质数也不是合数．

B是真命题．证明：对∈R，x2≥0，∴x2＋1≥0＋1＝1. C是假命题．比如x＝2是无理数，但x2＝(2)2＝2是有理数．

D是假命题．比如当x＝0时，该式无意义．

因此，选B. 2．解：不等式“x2＋y2≥2xy”的含意为

“对于任意的实数x，y，恒有x2＋y2≥2xy”．因此应该选A.

变练演编

＋1．对∈R，x2－ax＋1>0恒成立，则a的取值范围是________．

2．是否存在a∈R，使得x2－ax＋1>0恒成立？

1＋答案：1.解：∵x∈R，由x2－ax＋1>0可得a

xa<2即可．

2．解：二次函数y＝x2－ax＋1的图象开口向上，因此只要函数图象与x轴没有公共点，

不等式x2－ax＋1>0恒成立．由Δ＝a2－4<0，得－20恒成立．

设计意图：进一步增强学生对符号语言、自然语言、图形语言的互译能力，加深学生对全称命题和特称命题的理解．

达标检测

1．下列特称命题中真命题的个数是(

) ①∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；③∈{

x|x是无理数}，x2是无理数．

A．0

B．1

C．2

D. 3 2．下列全称命题中假命题的个数是(

) ．．．①2x＋1是整数(x∈R)；②对所有的x∈R，x>3；③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数．

A．0

B．1

C．2

D．3 3．下列命题为特称命题的是(

) A．偶函数的图象关于y轴对称

B．正四棱柱都是平行六面体

C．不相交的两条直线是平行线

D．存在一个实数不小于3 4．“若a⊥α，则直线a垂直于平面α内的任意一条直线”是(

) A．全称命题

B．特称命题

C．不是命题

D．假命题

答案：1.D

2.C

3.D

4.A 课堂小结

知识收获：1.全称量词与存在量词的意义．

2．全称命题和特称命题真假的判定方法．

方法收获：归纳方法、类比方法．

思维收获：类比思想、转化与化归的思想．

布置作业

课本

习题1.4 A组

第1、2题．

补充练习

基础练习

1．“xy≠0”是指(

) A．x≠0且y≠0

B．x≠0或y≠0 C．x，y至少有一个为0

D．不都是0 2．“a2＋b2≠0”的含义是(

) A．a，b不全为0

B．a，b全不为0 C. a，b至少有一个为

0

D．a≠0且b＝0或a＝0且b≠0 3．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是

(

) A．全称命题

B．特称命题

C．不是命题

D．假命题

4．全称命题“x2－x＋1>0，x∈R”可记作：________. 5．用符号“”与“”表示下列含有量词的命题：

(1)圆x2＋y2＝r2上任意一点到圆心的距离是r；

(2)存在一对实数x，y，使得2x＋4y＝3. 设计说明

通过教师引导学生观察分析出命题的特点：含有量词“所有的”“每一个”“一切”“有些”“至少”“存在一个”，有了以上引入“量词”的教学“场”，教师自然归纳：“所有的”“每一个”“一切”

“任给”

“任意一个”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这些词都是全称量词；“有些”“至少有一个”

“有一个”“存在”等都表示个别或一部分的含义，这些词都是存在量词．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题．教师有目的地创设学习情境，整合教材顺序，有效的问题引导，让学生经历观察特征、认识概念、运用概念的过程，对学生完整地、深刻地理解全称量词、存在量词的含义很有帮助．