习题2.1教学设计与反思

2.1

《椭圆》教学设计

教学目标: 1.

理解椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导．

【来. 2．掌握椭圆的标准方程，会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标，能用标准方程判定是否是椭圆。

教学重点

：椭圆的标准方程；坐标法的基本思想。培养学生核心素养

教学难点

：椭圆标准方程的推导与化简；坐标法的应用。

教学疑点

：椭圆的定义中要注意：2a＞｜F1F2｜时，轨迹是椭圆；

2a＝｜F1F2｜时，轨迹是线段｜F1F2｜；

2a＜｜F1F2｜时，无轨迹。

教学策略：

在教学设计中，主要采用探究式教学方法。首先通过神舟六号载人飞船成功发射引入,通过动画演示飞船飞行过程,让学生在感叹祖国科技高速发展的同时,产生了学习兴趣。然后让学生列举他们在生活中见到的椭圆，进一步加深感性认识。接着教师提出问题:我们前面已经学过圆，那么，圆是什么,椭圆与圆什么关系，我们怎么作出椭圆? 让学生在一个又一个问题中,对椭圆产生了强烈的求知欲望，接着，教师让学生利用课前准备的细绳探索画椭圆，让学生在动手参与的过程中，体会什么是椭圆，在得出椭圆定义后，教师又提出问题，神舟六号飞船变轨前

的轨道是椭圆，那么我们能不能求出轨道方程？引导学生进一步探索椭圆的方程，在推导椭圆标准方程过程中，给学生建系的机会，让他们充分暴露自然思维，以便于了解学生的思维起点，发挥学生的直觉思维，让他们在自己认为简洁的坐标系下建立椭圆的方程。通过展示推导过程，比较化简结果，让学生明白哪种坐标系更合适，不用老师叮嘱，在以后的建系中，他自然会注意到平衡对称对简化问题的作用。这样，学生可以在对比、观察、思考的基础上提升自己的思维，使新知识与旧知识尽可能产生天然的联系，而不是人为的告诉其正确的结果，把经验强加给学生。尊重学生，首先要接纳学生的认知基础，并相机诱导，使不同层次的学生都得到发展。同时通过多媒体辅助教学，化抽象为具体，增强动感与直观性，降低学生学习难度、提高教学效果和教学质量。

教学过程:

一、引入：

１、认识椭圆：

①

展示神舟六号相关资料，

由资料可知“飞船入轨后先是在近地点200公里，远地点350公里的椭圆轨道上运行5圈，然后变轨到距地面343公里的圆形轨道”，并演示飞船飞行动画，由此引出椭圆。

②生活中，你见过哪些形状是椭圆，你能举出实例吗？（有的同学可能认为鸡蛋是椭圆形的，教师要予以纠正）

问题１：神舟六号变轨后是在圆形轨道上运动，平面内到定点距离等于定长的点的轨迹叫圆。

提问：如果把一个定点改成两个定点，轨迹是什么？

１、画一画

做法：用图钉穿过准备好的无弹性细绳两端的套内，并且把图钉固定在两个定点上，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，看画出的是怎样的一条曲线。

２、议一议

提问：椭圆上的点具有什么特点？

学生可能回答，椭圆上的点到两个定点的距离之和等于常数。

那么能不能说，到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆？

有的学生会说，应该是平面内到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹，才是椭圆。

老师接着问，还有补充吗？

这时学生可以通过课件观察随着F1

、F2距离改变，轨迹变化情况。从而发现

2a＞｜F1F2｜时，轨迹是椭圆；

2a＝｜F1F2｜时，轨迹是线段｜F1F2｜；

2a＜｜F1F2｜时，无轨迹。

老师提出问题2：椭圆应如何定义？

经过前面的观察和实验操作，学生已经对于椭圆上的点的性

质有了较深刻的认识，就可以得到椭圆的准确定义。

１、定义：

平面内与两定点

F1

、F2

的距离的和等于常数（大于｜F1F2｜)的点的轨迹，是椭圆。

２、椭圆的标准方程

前面我们已经得到椭圆的定义，那么由椭圆定义，我们能不能推导出椭圆的方程。

问题3、求曲线方程的一般步骤是什么？

①建系、取点；②列式；③代换；④化简；⑤证明

下面由同学根据这两个问题分组讨论椭圆方程的求法。

（1）要建立椭圆方程应该如何建立坐标系？

（2）椭圆上动点M满足什么条件？

设椭圆的两个焦点F1、F2，他们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1、F2的距离的和为2a

(2a2c)．

(多媒体演示)

如何建立恰当的直角坐标系？

(学生讨论、交流、比较) 以F1、F2所在的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴，y

建立直角坐标系xoy，则F1、F2的坐标分别为(c,0)、（c,0)．

(多P F2 x

媒体演示)

怎样建立等量关系式？

（由生答）

F1 o

设P(x,y)为椭圆上的任意一点，根据椭圆的定义知

|PF1||PF2|2a

即

(xc)2y2(xc)2y22a

（*）

(多媒体演示)

这个方程的形式比较复杂，需化简，怎样化简？

（先让学生试一试，同时教师黑板演示若干方法的简要步骤，体会其方法的复杂）

将方程（*）移项后两边平方，得

即

(xc)2y24a24a(xc)2y2(xc)2y2

a2cxa(xc)2y2

两边再平方，得a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2

整理，得

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

因为a2c20且a20，所以两边同除以a2(a2c2)，得

x2y221

22aac

不妨令a2c2b2(b0),则有

x2y221(ab0)

2ab

（1）

注：1、引入参数b可使方程形式简洁．

2、参数a、b、c关系式为a2c2b2,其中ab0,ac0．

3、由上述推导过程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都满足方程（1）并且满足方程（1）的点(x,y)都在已知椭圆上．

方程（1）就是所求的椭圆方程，它的焦点为(c,0)、(c,0)，在x轴上．请同学们观察方程（1），说说椭圆方程的形式有什么特点？

1、

是二元二次方程．

2、

方程左边是平方和的形式，右边是常数1．

3、

方程中x、y表示椭圆上任意一点的坐标(x,y)．

4、

方程中含两个参数a、b，其中a跟椭圆上的点到两焦点距离之和有关；b与a、c满足关系式a2c2三者均为正数．

类似地，焦点在y轴上的椭圆，即焦点为F1(0,c),F2(0,c)的椭圆的方程

其中a值最大，b2，为y2x221(ab0)2ab

（2）

例题分析：

例1、

适合下列条件的椭圆的标准方程

1.椭圆的两个焦点的坐标分别是（－４，０）、（４，０），椭圆上一点Ｐ到焦点距离的和等于１０. 解：

∵椭圆焦点在x轴上，

x2y21a>b>0)

∴设它的标准方程为22（ab∵2a=10,2c=8 ∴a=5,c=4 ∴b2=a2-c2=9

∴所求椭圆标准方程为x225y291

解题时教师详细板书，给学生一个解题的规范示例。

2. 经过点P(2,0)和Q(0,3)．

3.P34

例1,

例2

例２、我国发射的神舟六号飞船变轨前，是在以地心F２为一个焦点的椭圆轨道上运行，已知它的近地点B距地面200公里，远地点A距地面350公里，并且F２、A、B在同一直线上，地球半径约为６３７１ｋｍ，求轨道方程（精确到１ｋｍ）。

２２ｘｙ答案：＋1

2266466645

练习

P36

1,2,3,4

小结：学生总结本节课学过的内容和思想方法，利用课件展示：

（1）坐标法是研究几何问题的有效方法。应注意建系的对称美、简洁美；

（2）注意用数形结合的思想方法、运动变化的观点分析问题；

（3）观察、比较、抽象、概括、归纳是学习数学的有效思维方法；

（4）把握好图形语言、符号语言、文字语言的相互转化，是学好数学的关键之一.

课下探索：

１、已知ΔABC的一边BC长为６，周长为16，求顶点Ａ的轨迹方程

２、一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心轨迹方程．

３、已知A、B是两定点，且|AB |＝２，动点Ｍ到点Ａ距离为４，线段ＭＢ的垂直平分线ｌ交ＭＡ于点Ｐ，当Ｍ运动时，求Ｐ的轨迹方程。

答案：

x24x225y2161 x5

,

x236y2271

y231