小结优秀教案案例

成都为明学校学生课堂导学提纲（高二数学学科）

圆锥曲线章末复习

学习目标

1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程. 2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法. 3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.

整合知识：

1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质

椭圆

双曲线

抛物线

平面内与两个定点F1，平面内与两个定点F1，平面内与一个定点F定义

F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹

x2y2y2x2＋＝1或2＋2＝a2b2ab1(a>b>0)

关系式

a2－b2＝c2

封闭图形

|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹

x2y2y2x2－＝1或2－2＝a2b2ab1(a>0，b>0)

a2＋b2＝c2

无限延展，但有渐近线图形

bay＝±x或y＝±x ab|x|≥a或|y|≥a 无限延展，没有渐近线

x≥0或x≤0或y≥0或y≤0

无对称中心

一条对称轴

两个

ce＝，且e>1

ae决定开口大小

一个

e＝1 和一条定直线l(l不过点F)距离相等的点的轨迹

y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)

标准方程

变量范围

对称性

顶点

离心率

决定形状的因素

2.椭圆的焦点三角形

四个

对称中心为原点

两条对称轴

ce＝，且0

2p决定开口大小

x2y2设P为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点ab1 / 4

且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．

α(1)焦点三角形的面积S＝b2tan；

2(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. 3．双曲线及渐近线的设法技巧

(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，x2y2x2y2即可得到两条渐近线的方程．如双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为2－2＝0(a>0，ababby2x2y2x2ab>0)，即y＝±x；双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为2－2＝0(a>0，b>0)，即y＝±aababbx. xyx2y2(2)如果双曲线的渐近线为±＝0时，它的双曲线方程可设为2－2＝λ(λ≠0)．

abab4．抛物线的焦点弦问题

抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论．

(1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p；

(2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p；

(3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p；

(4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p. 5．三法求解离心率

(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上，c都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，a这是基本且常用的方法；

(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法；

(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．

6．直线与圆锥曲线位置关系

(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行；

(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．

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思考辨析：

1．设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|－|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线．(

) 2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．(

) 3．方程2x2－5x＋2＝0的两根x1，x2(x1＜x2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率．(

) 4．已知方程mx2＋ny2＝1，则当m＞n时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆．(

) 10，.(

) 5．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是16a

典例剖析：

类型一

圆锥曲线定义的应用

x2y2x22例1

(1)设F1，F2为曲线C1：＋＝1的左、右两个焦点，P是曲线C2：－y＝1与C1623的一个交点，则△PF1F2的面积为(

) 1A．22B.2C．1D.

2

(2)抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则(

) A．x1，x2，x3成等差数列B．y1，y2，y3成等差数列

C．x1，x3，x2成等差数列D．y1，y3，y2成等差数列

类型二

圆锥曲线的性质及其应用

x2y2x2y2例2

(1)已知a>b>0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝1，C1与C2abab的离心率之积为A．x±2y＝0 C．x±2y＝0 2

3，则C2的渐近线方程为(

) 2B.2x±y＝0 D．2x±y＝0 x22(2)已知抛物线y＝4x的准线与双曲线2－y＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若a△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．

类型三

直线与圆锥曲线的位置关系

x2y2例3

已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为22，离心ab率为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点23 / 4

M0，3满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．

7

课堂检测：

x2y231．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交Cab3于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为(

) x2y2x22x2y2x2y2A.＋＝1B.＋y＝1C.＋＝1 D.＋＝1 323128124x2y22．双曲线2－2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(

) ab3A．2B.3C.2D.

2x2y23．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛ab物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为(

) x2y2x2y2x2y2x2y2A.－＝1B.－＝1C.－＝1 D.－＝1 212828213443x2y24．抛物线x＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF332为等边三角形，则p＝________. 4 / 4