3.3.4 两条平行直线间的距离教学内容分析

《两条平行线间的距离》教案

一、教学目标: 1.知识与技能：

（1）通过推导，得出点到直线的距离公式；

（2）推导两条平行线间的距离公式；

（3）会用距离公式解决实际问题. 2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力. 3.情感态度价值观：

（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想

二、重点难点: 1.教学重点：推导点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式

2.教学难点：会灵活应用距离公式解决实际问题. 三、教学过程：

（一）创设情景，提出问题

问题1：求点P0 (– 1 , 2) 到直线l：3x = 2的距离。

问题2：求原点O到直线l：3x + 2y

– 26 = 0的距离。

方法1：设直线交两坐标轴于A、B两点，则A(26,0),B(0,13)，从而

3|OA|262613,|OB|13,|AB|()213213，

333261311|OA||OB||OA||OB||AB|d，所以d3213。

1322|AB|133因为SAOB方法2（求点H的坐标）：作OQ⊥l，垂足为Q，直线OQ的方程为2x

– 3y = 0，与直线3x2y260x6l的方程联立，解方程组，得，所以点Q的坐标为 (6 , 4)，由两点间2x3y0y4

1

的距离公式得|OQ|(60)2(40)2213。

（二）类比探究，推导公式

问题3：已知点P的坐标为(x0,y0)，直线l:AxByC0，如何求点P到直线l的距离呢？

学生首选坐标法（因为从问题2可以看出，坐标法比面积法简单。）

分析：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为B（AA≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d 王新敞果真在运算时受阻，所有的学生都没有信心完整地算出，于是只有放弃。

自然的便有学生用面积法进行尝试，而此时问题便可迎刃而解：

设A ≠ 0，B ≠ 0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(x1,y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0,y2)，

RydQSlxP(x0,y0)By0CAx0CAxBy0C0,y2由11得x1，

ABAx0By2C0oAx0By0C所以，｜PR｜=｜x0x1｜= ，

A｜PS｜=｜y0y2｜= Ax0By0C，

BA2B2×｜Ax0By0C｜

AB｜RS｜＝PRPS22由三角形面积公式可知：d·｜RS｜＝｜PR｜·｜PS｜，所以d可证明，当A=0时仍适用。

（三）深入探究，发展思维

追问：用坐标法真的算不下去吗？你的目标是什么？

设Q(x1,y1)，所以|PQ|(x1x0)2(y1y0)2，已知条件：

Ax0By0CAB22。

kPQy1y01BB,y1y0(x1x0)，Ax1By1C0，

x1x0kAA

2

有必要求出x1,y1吗？（没有必要，换元法可以帮大忙。）

设ux1x0,vy1y0,mAx0By0C，则：

BuvuAvAuBv(Ax0By0C)mmAA2B2，

mBA2B2|m|AB22所以|PQ|uv22(mA)2(mB)2(A2B2)2|Ax0By0C|AB22。

可证明，当A =

0时仍适用。

归纳：点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：d练习：

１．

求下列点到直线的距离：

Ax0By0CAB22。

（1）A（-2,3） l:3x4y30；

（2）B（1,0） l:3xy30

２．

A.3若点P3,m到直线x3y40的距离等于１，则m为（ ）

B.3C.33D.3或33

（四）知识迁移应用

例1：已知点A（1，3），B（3，1），C（– 1，0），求三角形ABC的面积。

解：设AB边上的高为h，则S△ABC =1|AB|h， |AB|4422，

2AB边上的高h就是点C到AB的距离，AB边所在直线方程为x + y

– 4 = 0。

所以点C到直线AB的距离h|104|115155。

，因此，S△ABC

=22222例2：已知直线l1：2x7y80，l2：6x21y10，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离。

分析：（1）因为k1k22，所以l1∥l2；

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（2）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？

（3）如何取点，可使计算简单？

（4）推广到一般：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，l2：AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C2AB22。

（5）应用（4）的结论求解例2，应注意什么问题？

（五）课堂演练，巩固提高

课本P108、P109，练习。

1、若点P3,m到直线x3y40的距离小于１，则m的范围

（六）反思总结、深化认识

请学生谈谈自己的收获。

1、今天我们学习了点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离公式，要熟记公式的结构，应用时要注意将直线的方程化为一般式。

2、当A = 0或B = 0（直线与坐标轴垂直）时，仍然可用公式，这说明了特殊与一般的关系。

（七）作业

课本P109，习题3.3 [A组]9，10；[B组]2、4、5。

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