3.2.1 几个常用函数的导数教案2

§3.2.1几个常用函数的导数

一、教学目标

1、让学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、yx2、y的导数公式；

2、掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数；

3、培养学生归纳类比的能力，培养学生热爱思考和探索的精神。

二、教学重难点：

1x1的导数公式及应用。

x12难点：四种常见函数yc、yx、yx、y的导数公式的推广。

x重点：四种常见函数yc、yx、yx2、y

三、教学过程：

1、复习

（1）导数的几何意义

（2）导函数的概念

（3）求函数的导数的方法

2、引入

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．

3、新课

（1）．函数yf(x)c的导数

根据导数定义，因为所以ylimyf(xx)f(x)cc0

xxx

y

ylim00

x0xx0函数

导数

ycyc

1 y0

O

x

几何意义：y0表示函数yc图像上每一点处的切线的斜率都为0．

物理意义：若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

（2）．函数yf(x)x的导数

yf(xx)f(x)xxx1

xxxylim11

所以ylimx0xx0因为函数

导数

yyxyx

y1

O

x几何意义：y1表示函数yx图像上每一点处的切线的斜率都为1．

物理意义：若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

课本P82探究1

（3）．函数yf(x)x2的导数

yf(xx)f(x)(xx)2x2x22xx(x)2x22xx

因为xxxx所以ylimylim(2xx)2x

x0xx0函数

导数

y

yx2yx2

2y2x

O

x

几何意义：y2x表示函数yx图像上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx增加得越来越快．

物理意义：若yx表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，222

2

它在时刻x的瞬时速度为2x．

（4）．函数yf(x)1的导数

x111yf(xx)f(x)xxxx(xx)2因为

x(xx)xxxxxxx所以ylimy11lim(2)2

x0xx0xxxx函数

导数

1yyx

y

1

xy1

x2

Ox课本P82探究2

课堂训练：求函数yf(x)x的导数

xxx(xxx)(xxx)

xx(xxx)因为yf(xx)f(x)xxy11(xx)xlim

所以ylim

x0xx0xxx2xx(xxx)

函数

导数

yx

归纳总结：

函数

y12x

导数

yx2

y1

xy2x

y1

x2yx

y12x

推广：若yf(x)x(nQ)，则f(x)nx

3 n*n1

四、课堂练习：

（1）已知yx3，求f'(2)。

（2）已知y1'，求f(3)。

2x

五、课堂小结：

函数

导数

yc

yx

y'0

y'1

yx2

y1

xy'2x

y'1

x2yx

yf(x)xn(nQ*)

六、课后作业：

1.已知y12x

y'nxn1

y4x

'（1）求y；

（2）求曲线在点（1，1）处的切线方程。

2.

已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线yx上的两点，求与直线PQ平行的曲线yx的切线方程。

七、巩固拓展：

求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围城的三角形的面积。

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