3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计

3.1

直线的倾斜角与斜率

3.1.1

倾斜角与斜率

1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点) 2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点) 3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)

[基础·初探] 教材整理1

直线的倾斜角

阅读教材P82～P83“思考”以上部分，完成下列问题．

1．倾斜角的定义

(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围

直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．

如图3-1-1所示，直线l的倾斜角为(

)

图3-1-1 A．30°

C．120°

B．60°

D．以上都不对

【解析】

根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°. 【答案】

C 教材整理2

直线的斜率及斜率公式

阅读教材P83“思考”以下至P85“例1”以上部分，完成下列问题．

1．斜率的定义

一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α. 2．斜率公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝x2时，直线P1P2没有斜率．

3．斜率意义

用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法．(

) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(

) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线．(

) (4)斜率公式与两点的顺序无关．(

) 【解析】

(1)错误．除了倾斜角，还可以用坡度(比)描述倾斜程度．

(2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．

(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和

y2－y1.当x1x2－x1

一个倾斜角α. (4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．

【答案】

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

[小组合作型] <α<180°)后，

已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动α角(0°恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？

【精彩点拨】

画草图―→标记α―→找倾斜角与α的关系―→求倾斜角

【自主解答】

由题意画出如下草图

由图可知：

当α为钝角时，倾斜角为α－90°，

当α为锐角时，倾斜角为α＋90°，

当α为直角时，倾斜角为0°. 0°<α<90°，α＋90°综上，直线l转动前的倾斜角为

90°≤α<180°.α－90°

1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．

2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．

[再练一题] 1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方

向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(

)

A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°

【解析】

根据题意，画出图形，如图所示：

因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，

不合题意．通过画图(如图所示)可知：

当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；

当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 【答案】

D

已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．

(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．

y2－y1【精彩点拨】

(1)利用k＝及k＝tan α求解；

x2－x1(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围．

【自主解答】

(1)由斜率公式得

1－13＋1－1kAB＝＝0，kBC＝＝3. 1－－12－1kAC＝3＋1－13＝3. 2－－1倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 又∵tan 0°＝0，

∴AB的倾斜角为0°. tan 60°＝3，

∴BC的倾斜角为60°. 3tan 30°＝3，

∴AC的倾斜角为30°. (2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA3增大到kCB，所以k的取值范围为，3. 3

1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．

2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式

y2－y1k＝(x≠x)求解．

x2－x1123．涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．

[再练一题] 2．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.

【解】

如图所示，由题意可知kPA＝4－02－0＝－1，kPB＝＝1. －3－13－1

(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1. (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的

倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. [探究共研型] y2－y1探究1

斜率公式k＝中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x2－x1x1与x2的顺序呢？

【提示】

斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y1与y2和x1与x2可y1－y2以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝. x1－x2探究2

你能证明A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)三点在同一条直线上吗？

【提示】

能．因为A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)，

3－－511－3所以kAB＝＝2，kBC＝＝2，

1－－35－1所以kAB＝kBC，且直线AB，BC有公共点B，

所以A，B，C这三点在同一条直线上．

y＋3

已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和x＋2最小值．

【精彩点拨】

y＋3的最大值和最小值可以看做过两点(－2，－3)和(x，y)x＋2的直线的斜率的最大值和最小值．

y＋3【自主解答】

由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲x＋2线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB，由已知可得A(1,1)，B(－1,5)．

则kPA＝1－－345－－3＝3，kPB＝＝8. 1－－2－1－－2y＋344∴3≤k≤8，∴的最大值为8，最小值为3. x＋2

斜率公式的应用

1．证明三点共线：只需证此三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在)．

y－b2．求代数式最值或范围：

x－ay2－y1y－b由斜率公式k＝的形式，可知的几何意义是过P(x，y)与P′(a，x2－x1x－ab)两点的直线的斜率．故可以利用数形结合来求解．

[再练一题] y3．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求x的最大值和最小值．

【解】

如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为(2,4)，(3,2)．

y2由于x的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝3，

y2所以可求得x的最大值为2，最小值为3.

1．斜率不存在的直线一定是(

) A．过原点的直线

B．垂直于x轴的直线

C．垂直于y轴的直线

D．垂直于过原点的直线

【解析】

只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．

【答案】

B 2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于(

) 3A．－2

C．－1

【解析】

kAB＝【答案】

C 3．如图3-1-2中α能表示直线l的倾斜角的是________．

3B.2

D．1 y＋3y＋3＝tan 45°＝1，即2＝1，∴y＝－1. 4－2

图3-1-2 【解析】

结合直线l的倾斜角的定义可知①可以．

【答案】

①

4．如图3-1-3所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．

图3-1-3 【解析】

设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，

所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k1

k1

5．已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．

5－17－1b－1b－16【解】

由题意可知kAB＝＝2，kAC＝＝，k＝＝，

3－1a－1a－1AD－1－1－2

所以k＝2＝b－16＝，解得a＝4，b＝－3，

a－1－2所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.

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