习题4.2PPT专用教学设计内容

4.2.3

直线与圆的方程的应用

明目标、知重点

1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；2.会建立平面直角坐标系利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；3.会用“数形结合”的数学思想解决问题．

1．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：

2．建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则：

(1)若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴．

(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点．

(3)尽量使已知点位于坐标轴上．

建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．

[情境导学]

直线与圆的方程的应用非常广泛，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决．本节我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用．

题型一

直线与圆的方程在实际生活中的应用

例1

如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)．

解

建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上．设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.

下面确定b和r的值．因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都满足方程x2＋(y－b)2＝r2.于是，

02＋4－b2＝r2，得到方程组2

2210＋0－b＝r

解得b＝－10.5，r2＝14.52. 所以，圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52. 把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，

得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，

即y＋10.5＝14.52－－22(P2的纵坐标y＞0，平方根取正值)．

所以y＝14.52－－22－10.5≈14.36－10.5 ＝3.86(m)．

答

支柱A2P2的高度约为3.86 m. 反思与感悟

解决直线与圆的实际应用题的步骤为：

(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；

(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；

(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；

(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．

跟踪训练1

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60 km处，受影响的范围是半径长为20 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北30 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

解

建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为：(6,0)，(0,3)，

xy所以轮船航线所在直线方程为＋＝1，

63即x＋2y－6＝0，

台风区域边界所在圆的方程为x2＋y2＝4.

由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离

d＝|－6|6＝>2. 512＋22所以直线x＋2y－6＝0与圆x2＋y2＝4相离，

因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响．

题型二

用代数法证明几何问题

例2

已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．

证明

如图，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA，DB所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系．设A(a,0)，B(0，b)，C(c,0)，D(0，d)．

过四边形ABCD外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线，垂足分别为M、N、E，则M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点．

由线段的中点坐标公式，

a＋cb＋dad得xO′＝xM＝，yO′＝yN＝，xE＝，yE＝. 2222所以|O′E|＝＝acabdd＋－2＋＋－2

222222122b＋c.又|BC|＝b2＋c2，

21所以|O′E|＝|BC|. 2反思与感悟

用坐标方法解决平面几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．

跟踪训练2

证明在圆中直径所对的圆周角是直角．

证明

如图，以圆心为原点，直线AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设圆的半径为r，则圆的方程为x2＋y2＝r2，A(－r,0)，B(r,0)．设P是圆上不同于A、B的任一点，其22坐标为(x0，y0)，则x20＋y0＝r. y0－0y0r2－x2y200∴kPA·kPB＝·＝22＝22＝－1，

x0＋rx0－rx0－rx0－r∴PA⊥PB，即∠APB＝90°. 故在圆中，直径所对的圆周角等于90°. 题型三

直线与圆中的最值问题

例3

某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？

解

建立如图所示的坐标系．依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，

P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0)．

设所求圆的方程是

(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

a＋10＋b＝r，222于是有a－10＋b＝r，a2＋b－42＝r2.222

解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是

x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．

把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3＜3.1，

所以该船可以从桥下通过．

反思与感悟

针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题．

跟踪训练3

设半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？

解

由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立直角坐标系，

设A、B两人的速度分别为3v km/h，v km/h，

设A出发a h，在P处改变方向，又经过b h到达相遇点Q，

则P(3av,0)，Q(0，(a＋b)v)，

则|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v. 在Rt△OPQ中，|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b. 0－va＋b3kPQ＝，∴kPQ＝－. 43av－03设直线PQ的方程为y＝－x＋b

4由PQ与圆x2＋y2＝9相切，

得|4b|15＝3，解得b＝，

442＋3215故A、B两人相遇在正北方离村落中心

km处．

4

1．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(

) A．52

C．152

答案

B 解析

圆的方程化为(x－1)2＋(y－3)2＝10，

设圆心为G，易知G(1,3)，最长弦AC为过E的直径，则|AC|＝210，最短弦BD为与GE垂直的弦，如图所示，

B．102 D．202

易得|BG|＝10，|EG|＝0－12＋1－32＝5，

|BD|＝2|BE|＝2|BG|2－|EG|2＝25. 1所以四边形ABCD的面积为S＝|AC||BD|＝102. 22．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．

答案

4 解析

如图所示，

在Rt△OO1A中，OA＝5，O1A＝25，∴OO1＝5，

∴AC＝5×25＝2，

5∴AB＝4. 3．如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的取值范围是________．

π0，2－

答案

2解析

如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最大值，

此时ABO2O1为矩形，

1π2π且Smax＝2×1－··1×2＝2－. 2224．已知集合A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}．若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．

答案

m<－2 解析

如图，A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}表示直线x－y＋m＝0及其右下方区域，B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}表示圆x2＋y2＝1及其内部，要使A∩B＝∅，则直线x－y＋m＝0在圆x2＋y2＝1的下|0－0＋m|方，即>1，故m<－2. 2

[呈重点、现规律]

1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识．

2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．

一、基础过关

1．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过(

) A．1.4米

C．3.6米

答案

C 解析

可画示意图，如图所示，通过勾股定理解得：OD＝OC2－CD2＝3.6(米)．

B．3.0米

D．4.5米

2．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是(

) A．62－2

C．46

答案

B 解析

点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为5＋12＋7＋12＝10. ∴所求最短路程为10－2＝8. y3．如果实数满足(x＋2)2＋y2＝3，则的最大值为(

) xA.3

B．－3

C.答案

A yCD解析

令t＝，则t表示圆(x＋2)2＋y2＝3上的点与原点连线的斜率，如图所示，此时k＝xOD＝3＝3，相切时斜率最大．

133

D．－

33B．8 D．10

4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小

值是(

) A．3－2

C．3－2

2B．3＋2 3－2D.

2答案

A 解析

lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离

d＝|3|33＝，∴AB边上的高的最小值为－1. 22231∴Smin＝×22×－1＝3－2. 225．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．

答案

25

4解析

∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切525线在坐标轴上的截距分别为5、，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 246．一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米．

答案

251 解析

如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51，∴当水面下降1米后，水面的宽为2x0＝251(米)．

7．Rt△ABC的斜边BC为定长m，以斜边的中点O为圆心作半径为定长n的圆，BC所在直线交此圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．

证明

如右图，以O为原点，分别以直线PQ，过O点且垂直于PQ的mmn直线为x轴，y轴建立直角坐标系．于是有B(－，0)，C(，0)，P(－，222n0)，Q(，0)．

2

m2设A(x，y)，由已知，得点A在圆x＋y＝上．

422n22n22232m23222|AP|＋|AQ|＋|PQ|＝(x＋)＋y＋(x－)＋y＋n＝2x＋2y＋n＝＋n(定值)．

22222222二、能力提升

8.已知实数x，y满足x2＋y2＝4，则函数S＝x2＋y2－6x－8y＋25的最大值和最小值分别为(

) A．49,9

C.7，3

答案

A 解析

函数S＝x2＋y2－6x－8y＋25化为(x－3)2＋(y－4)2＝S，它是以点C(3,4)为圆心，半径为S的圆，当此圆和已知圆x2＋y2＝4外切和内切时，对应的S的值即为要求的最小值和最大值．当圆C与已知圆x2＋y2＝4相外切时，对应的S为最小值，此时两圆圆心距离等于两圆半径之和，即5＝Smin＋2，求得Smin＝9；当圆C与已知圆x2＋y2＝4相内切时，对应的S为最大值，此时两圆圆心距离等于两圆半径之差，即5＝Smax－2，求得Smax＝49. 9．方程1－x2＝kx＋2有唯一解，则实数k的范围是(

) A．k＝±3

C．k<－2或k>2

答案

D 解析

由题意知，直线y＝kx＋2与半圆x2＋y2＝1(y≥0)只有一个交点．

结合图形易得k<－2或k>2或k＝±3. B．k∈(－2,2) D．k<－2或k>2或k＝±3 B．7,3 D．7，3

10．据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响．从现在起经过约________h，台风将影响A城，持续时间约为________h(结果精确到0.1 h)．

答案

2.0

6.6 解析

以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，

解得－150－2514≤a≤－150＋2514，

∴t1＝2|－150＋2514|2|a1|＝≈2.0，

4040

Δt＝2|a2－a1|2×5014＝≈6.6，∴从现在起经过约2.0 h，台风将影响A城，持续时间约4040为6.6 h. 11.如图所示，已知P(4,0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．

解

设AB的中点为R，坐标为(x，y)，连接OR，PR，

则在Rt△ABP中，|AR|＝|PR|. 又R是弦AB的中点，所以在Rt△OAR中，|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x2＋y2)．

又|AR|＝|PR| ＝x－42＋y2，

所以有(x－4)2＋y2＝36－(x2＋y2)，

即x2＋y2－4x－10＝0. 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的轨迹上运动．

设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，

x＋4y＋0所以x1＝，y1＝，代入方程x2＋y2－4x－10＝0，

22x＋42y2x＋4得()＋()－4×－10＝0，

222整理得x2＋y2＝56，此即为所求顶点Q的轨迹方程．

12．中国南海某岛驻岛部队的地面雷达搜索半径为200海里，外国一海洋测量船正在该海岛正东250海里处以每小时20海里的速度沿西北方向航行，问该海岛雷达能否发现该外国测量船，如能，求能观测到该测量船的时间长．

解

以该岛为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴，建立直角坐标系．

则雷达最大观测范围是一个圆，其方程为：x2＋y2＝2002，外国测量船的航行路线所在的直线方程为：x＋y＝250，海岛到外国测量船的航行路线距离为：d＝≈176.78<200，故能被观测到，

航行路线被圆截得的弦|BC|＝22002－12522

＝5014≈187.1，

187.1所以能观测到的时间为t≈＝9.355(小时)．

20|250|＝1252 12＋12

三、探究与拓展

13.有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍．已知A、B相距10 km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)

解

以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系．

|AB|＝10，所以A(－5,0)，B(5,0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则从A地运往P地的运费为|PA|·3a，当运费相等时，就是|PB|·a＝3a·|PA|，

即3x＋52＋y2＝x－52＋y2，

2515整理得(x＋)2＋y2＝()2.①

44所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买．