3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示第二课时教案

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

教学目标

1.知识与技能

理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量．

2．过程与方法

通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。

3．情感、态度与价值观

通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质．

教学重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握用基底表示已知空间向量．

教学难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

空间向量基本定理

问题导思

图3－1－23 →→→1．如图3－1－23所示平行六面体中，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，能否用a，b，c表→示向量AC1？

→【答案】

AC1＝a＋b＋c. 2．在图中任找一向量p，是否都能用a，b，c来表示？

【答案】

是．

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. 空间向量的正交分解及其坐标表示

问题导思

图3－1－24 →1．如图3－1－24正方体的棱长为3，向量AB1如何用向量e1、e2、e3(e1、e2、e3为棱AB、AD、AD1上的单位向量)表示？

→→→→【答案】

AB1＝AB＋AD＋AD1＝3e1＋3e2＋3e3. 2．基底{e1，e2，e3}与图3－1－23中的基底{a，b，c}有何不同？

【答案】

e1、e2、e3为单位向量且相互垂直．

1．有公共起点O的三个两两垂直的单位向量e1、e2、e3称为单位正交基底．

2．以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 3．空间向量的坐标表示

→对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x

e1＋y

e2＋z

e3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z). 例题解析

例1.如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用向量

OA,OB,OC表示OP和OQ.

12解:OP=OM+MP=OA+MN23121

=OA+(ON-OA)232111=OA+OB+OC.633OQ=OM+MQ11=OA+MN23111=OA+(ON-OA)23211111=OA+(OB+OC)=OA+OB+OC.36366

变式训练

图3－1－25 →→

如图3－1－25所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示如下向量：

→→(1)AP；(2)AM. 解

连结AC，AD1

1→→→1→1→→(1)AP＝(AC＋AA1)＝(AB＋AD＋AA1)＝(a＋b＋c)．

2221→11→1→→→→(2)AM＝(AC＋AD1)＝(AB＋2AD＋AA1)＝a＋b＋c. 2222课堂训练

一、选择题

1．设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】

由空间基底的概念知，p【答案】

B 2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(

) →A．向量AB的坐标与点B的坐标相同

→B．向量AB的坐标与点A的坐标相同

→→C．向量AB与向量OB的坐标相同

→→→D．向量AB与向量OB－OA的坐标相同

→→→【解析】

因为A点不一定为坐标原点，所以A不对，B、C都不对，由于AB＝OB－OA，故D正确．

【答案】

D 3．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为(

) A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0) C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0) 【解析】

点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B. 【答案】

B q，但q⇒p，故p是q的必要不充分条件．

图3－1－29 →→→4．在空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，若OA＝a，OB＝b，OC＝c，则OG等于(

) 111A.a＋b＋c

333

111B.a＋b＋c

222C．a＋b＋c

D．3a＋3b＋3c

→2→21→→1→→→【解析】

∵G是△ABC的重心，∴CG＝CM＝·(CA＋CB)＝(OA＋OB－2OC)，

3323111→→→1→→→∴OG＝OC＋CG＝(OA＋OB＋OC)＝a＋b＋c. 3333【答案】

A →→5．正方体ABCD—A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{AO1，AO2，AO3}为基底，AC′＝xAO1＋yAO2＋zAO3，则→→→→→x，y，z的值是(

) A．x＝y＝z＝1

C．x＝y＝z＝2

21B．x＝y＝z＝

2D．x＝y＝z＝2 →→→→【解析】

AC′＝AA′＋AD＋AB

1→→1→→1→→＝(AB＋AD)＋(AA′＋AD)＋(AA′＋AB) 2221→1→1→→→→＝AC＋AD′＋AB′＝AO1＋AO3＋AO2，

222由空间向量的基本定理，x＝y＝z＝1. 【答案】

A 二、填空题

6．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是________．

【解析】

∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0. ∴a⊥b. 【答案】

a⊥b

图3－1－30

→7．如图3－1－30, 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB＝→→→a，AD＝b，AA1＝c，则B1M＝________. →→→【解析】

B1M＝AM－AB1

1→→1→1→→11→→＝(AB＋AD)－(AB＋AA1)＝－AB＋AD－AA1＝－a＋b－c. 2222211【答案】

－a＋b－c

228．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．

【解析】

由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，

∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．

【答案】

(8,3,12) 三、解答题

→→→9．已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1→→→＋e2－e3，能否以OA，OB，OC作为空间的一个基底？

→→→解

假设OA，OB，OC共面，

→→→根据向量共面的充要条件有：OA＝xOB＋yOC，

即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. －3x＋y＝1，∴x＋y＝2，2x－y＝－1.

此方程组无解．

→→→∴OA，OB，OC不共面．

→→→∴{OA，OB，OC}可作为空间的一个基底．

图3－1－31

1→→1→→10．如图3－1－31，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，MA＝－AC，ND＝A1D，设33→→→→AB＝a，AD＝b，AA1＝c，试用a，b，c表示MN. →→→解

连结AN，则MN＝MA＋AN.

由已知可得ABCD是平行四边形，从而可得

→→→AC＝AB＋AD＝a＋b，

1→1→MA＝－AC＝－(a＋b)，

33→→→又A1D＝AD－AA1＝b－c，

1→→→→→→1→故AN＝AD＋DN＝AD－ND＝AD－A1D＝b－(b－c)，

33111→→→MN＝MA＋AN＝－(a＋b)＋b－(b－c)＝(－a＋b＋c)．

33311．已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别是AB、PC的中点，并且PA＝→→AD＝1，求向量MN、DC的坐标．

→解

如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设DA＝→→e1，AB＝e2，AP＝e3. 以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz. →→→→→→1→因为MN＝MA＋AP＋PN＝MA＋AP＋PC

2→→1→→→＝MA＋AP＋(PA＋AD＋DC) 21111＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)＝－e1＋e3，

222211→→∴MN＝(－，0，)，DC＝(0,1,0)．

2212.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别在线段A1D，AC上，且EF

⊥A1D，EF⊥AC，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)．

→(1)试求向量EF的坐标；

(2)求证：EF∥BD1. →→→解

(1)∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，根据题意知{DA，DC，DD1}为单位正交基→→→→→→→底，设DA＝i，DC＝j，DD1＝k，∴向量EF可用单位正交基底{i，j，k}表示，∵EF＝ED＋DC→→→→→→→→→→→→→＋CF，ED与DA1共线，CF与CA共线，∴设ED＝λDA1，CF＝μCA，则EF＝λDA1＋DC＋μCA→→→→→＝λ(DA＋DD1)＋DC＋μ(DA－DC) →→→＝(λ＋μ)DA＋(1－μ)DC＋λDD1

＝(λ＋μ)i＋(1－μ)j＋λk，

→→→→∵EF⊥A1D，EF⊥AC，即EF⊥A1D，EF⊥AC，

→→→→∴EF·A1D＝0，EF·AC＝0，

→→又A1D＝－i－k，AC＝－i＋j，

∴λ＋μi＋λ＋μi＋－μj＋λk－μj＋λk－i－k＝0，－i＋j＝0，

－整理得－λ＋μ－λ＝0，λ＋μ＋－μ＝0，1λ＝－，3

2λ＋μ＝0，即解得λ＋2μ＝1，

2μ＝3.

→111∴EF＝i＋j－k，

333111→∴EF的坐标是(，，－)．

333

→→→(2)∵BD1＝BD＋DD1＝－i－j＋k，

1→→→→∴EF＝－BD1，即EF与BD1共线，

3又EF与BD1无公共点，∴EF∥BD1. 课堂小结

1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．

2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示，表示时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算.