习题3.2特级教师教学实录

平面与平面垂直的判定教学设计（第1课时）

随州一中

吴晓旭

教学目标

1.理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念；

2.掌握两个平面垂直的判定定理及简单应用

3.掌握度量二面角大小的方法

过程与方法

培养学生的几何直观能力使他们在直观感知、操作确认的基础上学会“类比归纳”思想在解决数学问题上的作用.

情感、态度与价值观

通过实物模型及计算机软件演示来陶冶学生的数学情操，在数学与实际问题密切联系中，激发学生的学习欲望和探究精神，在课堂学习中，学生既有独立思考，又有合作讨论，有意识、有目的培养学生自主学习的良好习惯以及协作共进的探究精神.

重点

平面与平面垂直的判定

难点

度量二面角的大小

1

新课教授

一、复习

1.直线与平面垂直的定义？（老师提问，学生回答）

2.直线与平面垂直的判定定理。

线线平行

线面垂直

二、引入

在现实生活中，为了解决一些实际问题，比如在修筑水坝的时候，为了使水坝坚固耐用，必须是水坝与水平面成适当角度；发射人造卫星时，也要根据需要时卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。为此，我们要研究两个平面所成的角，即二面角。

三、二面角的定义

1.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的元素：这条直线叫做二面角的棱；这两个半平面叫做二面角的面。

二面角的记法：二面角AB、二面角PABQ、二面角l、二面角PlQ. PβlBQαA

2.二面角的平面角：在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫

2

做二面角的平面角.

AβlB

注意：1.二面角的平面角必须具备三个条件，（1）顶点在二面角的棱上，（2）二面角的两条边分别在二面角的两个面内，（3）二面角平面角的两条边都与棱垂直. 2.二面角的平面角可以度量二面角的大小. 3.二面角平面角的范围：0，当两个半平面重合时，0，当两个半平面共面时，. α

四、例题讲解（二面角的求法）

例1 如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB. （1）求二面角B-PA-D的平面角的度数；

（2）求二面角B-PA-C的平面角的度数；

（3）求二面角B-PC-D的平面角的度数. PABDC

例题解答:（1）PA平面ABCD，BA、AD平面ABCD

PAAB，PAAD，

所以BAD为二面角B-PA-D的平面角，BAD90，

故二面角B-PA-C的平面角的度数为90.

（2）PA平面ABCD，BA、AC平面ABCD

PAAB，PAAC，

所以BAC为二面角B-PA-C的平面角，BAD45，

故二面角B-PA-C的平面角的度数为45.

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（3）作BEPC，连接DE、BD. PA平面ABCD，BA、AD平面ABCD

PAAB，PAAD

又ABADPBPD，CBCD，则PCBPCD

BPCDPC，

则PEBPED.PCDE

所以BED为二面角B-PC-D的平面角，设PAABa，

在RtPAB中，PB2a. PA平面ABCD，BC平面ABCDPACB，又BACB

BC平面PABBCPA. 在RtPCB中，BEPBBCPBBC6a，

22PC3PBBCBE2DE2BD21，

在BED中，cosBED2BEDE2BED120，故二面角B-PC-D的平面角的度数为120

规律总结：（1）求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角. （2）求二面角的基本程序是：作出二面角的平面角，证明角的两边与棱都垂直，计算该角的大小.简记为：作、证、算.

四、平面与平面垂直的定义. 1.直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角. 2.平面与平面垂直：两个平面相交，它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

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注：面面垂直的画法和记法，直立平面的竖边和水平面的横边垂直，记作. ββα

α

五、两个平面垂直的判定定理

定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. βalα

图形语言

符号语言：a，a. 1.定理的证明：设l，alB，在平面内，作BCl. βAalαBC

a,l,BCal,aBC,又AB,BC，

则ABC为二面角l的平面角，

且ABC90，所以.

2.线面垂直

面面垂直.

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六、定理应用

例2 如图AB是

圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC. PCA

分析：平面PAC⊥平面PBCBC⊥平面PAC BCPABCAC

BCPAPA⊥平面ABC.

证明：PA垂直于圆O所在的平面，则BCPA，

C是圆周上任意一点，AB是

圆O的直径，则BCAC，

PAACABC平面PAC，BC平面PBC

OB平面PBC平面PAC.

七、探究

如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能够发现哪些平面互相垂直，为什么？

ABDC

AB平面BCD平面ABD平面BCD，平面ABC平面BCD

CD平面ABC平面ACD平面ABC. 八、小结

1.二面角的定义、二面角的平面角、二面角的求法

2.直二面角和面面垂直的定义

3.面面垂直的判定定理

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九、板书设计

平面与平面垂直的判定

1.二面角

例1 二面角的定义：

（1）作出二面角的平面角

二面角的元素：

（2）求二面角大小的步骤

二面角的记法：

3.平面与平面垂直

2.二面角的平面角

直二面角：

二面角平面角的定义：

平面与平面垂直：

注：（1）二面角的平面角必须具备的.

三个条件

（2）度量作用

（3）二面角的范围

4.平面与平面垂直的判定定理

5.小结：

定理

一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面垂直

图形语言、符号语言

定理的证明：

例2 分析：

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