1.4.1 全称量词教学评价实录

1．4

全称量词与存在量词

1．4．1

全称量词

1．4．2

存在量词

学习目标：

1．理解全称量词、全称命题的定义．

2．理解存在量词、特称命题的定义．

3．会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假．

全称量词和存在量词

量词

符号

命题

命题

形式

全称量词

所有的、任意一个、一切、每一个、任给

∀

含有全称量词的命题是全称命题

存在量词

存在一个、至少有一个、有些、某一个、有的

∃

含有存在量词的命题是特称命题

“对M中任意一个x，有p(x)成立”，“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”

用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”

(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等．

(2)特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等．

小练习

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(

) (2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(

) (3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)×

下列命题中，不是全称命题的是(

) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数

C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数

答案：D

下列特称命题是假命题的是(

) A．存在x0∈Q，使2x0－x30＝0 B．存在x0∈R，使x20＋x0＋1＝0 C．有的素数是偶数

D．有的有理数没有倒数

答案：B

命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)．

答案：有些

存在

探究点1

全称命题与特称命题的辨析

判断下列语句是否为全称命题或特称命题．

(1)有一个实数a不能取对数；

(2)所有不等式的解集A，都满足A⊆R；

(3)三角函数都是周期函数吗？

(4)有的向量方向不定；

(5)自然数的平方是正数．

【解】

因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为特称命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(5)均含有全称量词，故为全称命题；(3)不是命题．综上所述：(1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题．

判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路

[注意]

全称命题可以省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．

1．给出下列命题：

2①存在实数x0＞1，使x0＞1；

②全等的三角形必相似；

③有些相似三角形全等；

④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．

其中特称命题的个数为(

)

A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选C．①③④为特称命题，②为全称命题．故选C．

2．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题．

(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；

(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；

(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；

11(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．

32解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0；

(2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；

(3)∃x0，y0∈Z，3x0－2y0＝10；

11(4)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数．

32探究点2

全称命题与特称命题的真假判断

判断下列命题的真假．

(1)∃x0∈Z，x30＜1；

(2)存在一个四边形不是平行四边形；

(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(4)∀x∈N，x2>0．

【解】

(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，

所以“∃x0∈Z，x30＜1”是真命题．

(2)真命题，如梯形．

(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．

(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．

判断全称命题和特称命题真假的方法

(1)要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．

(2)要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假．

指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．

(1)存在一个实数，它的绝对值不是正数；

(2)对任意实数x1、x2，若x1

(3)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．

解：(2)是全称命题，(1)(3)是特称命题．

(1)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．

(2)存在x1＝0，x2＝π，x1

(3)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．

探究点3

由含量词的命题求参数

对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围．

【解】

令y＝sin x＋cos x，x∈R，

πx＋∈[－2，2]，

则y＝sin x＋cos x＝2sin4因为∀x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，

所以只要m<－2即可．

所以所求m的取值范围是(－∞，－2)．

[变条件]本例条件变为：“存在实数x0，使不等式sin x0＋cos x0>m有解”，求实数m的取值范围．

解：令y＝sin x＋cos x，x∈R，

πx＋∈[－2，2]．

因为y＝sin x＋cos x＝2sin4又因为∃x0∈R，sin x0＋cos x0>m有解，

所以只要m<2即可，

所以所求m

的取值范围是(－∞，2)．

求解含有量词的命题中参数范围的策略

(1)对于全称命题“∀x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(或a＜f(x)min)．

(2)对于特称命题“∃x0∈M，a＞f(x0)(或a＜f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max)．

已知命题p：“∀x∈[1，＋∞)，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为(

) A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≤－2或1≤a≤2} C．{a|a≥1} D．{a|－2≤a≤1} 解析：选A．由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真命题，得a≤1；由命题q为真命题，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0成立，得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围为{a|a≤

－2或a＝1}．

检测

1．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是(

) A．有一个x∈R，使得x2＞3 B．对有些x∈R，使得x2＞3 C．任选一个x∈R，使得x2＞3 D．至少有一个x∈R，使得x2＞3 答案：C 2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(

) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x0，使x20≤0 C．两个无理数的和必是无理数

1D．存在一个负数x0，使＞2 x0答案：B 3．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0．若p为真命题，则实数a的取值范围是(

) A．(－1，＋∞)

C．[－1，＋∞)

B．(－∞，－1) D．(－∞，－1] 解析：选B．依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1．

4．判断下列命题的真假．

(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

(2)存在一个实数x0，使得等式x20＋x0＋8＝0成立．

解：(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为

2，2 就不能用正有理数表示．

(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．

小结

知识结构

深化拓展

1．判定命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是含有全称量词还是含有存在量词．另外，需要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及

的意义去判断．

2．全称命题与特称命题的区别

(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．

(2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．

[学生用书P95(单独成册)]) [A

基础达标] 21．特称命题“存在实数x0，使x0＋1<0”可写成(

) A．若x∈R，则x2＋1>0

C．∃x0∈R，x20＋1<0

B．∀x∈R，x2＋1<0 D．以上都不正确

解析：选C．特称命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C．

2．下列命题中，是全称命题且是真命题的是(

) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线相等

C．∀x∈R，x2＝x

D．对数函数在定义域上是单调函数

解析：选D．A中的命题是全称命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但x2＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D．

3．已知命题p：∀x∈R，2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x∈R，sin x＋cos x＝2，则下列判断正确的是(

) ①“p且q”是真命题；

②“p或q”是真命题；

③q是假命题；

④“非p”是真命题．

A．①④

C．③④

B．②③

D．②④

解析：选D．由题意，知p假q真，故②④正确，选D．

4．已知命题p：∃x0∈R，x2命题q：不等式x2－2x－1＞0恒成立，那么(

) 0＋1＜2x0；A．“﹁p”是假命题

B．q是真命题

C．“p∨q”是假命题

D．“p∧q”是真命题

解析：选C．根据基本不等式，x2＋1≥2x，所以命题p是假命题．

因为当x＝0时，x2－2x－1＝－1＜0，所以命题q是假命题．

所以﹁p是真命题，“p∨q”是假命题，“p∧q”是假命题；所以C正确．

5．给出下列四个命题：

①对任意的x∈R，x2＞0；

②存在x0∈R，使得x20≤x0成立；

③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N；

④存在α0，β0∈R，使tan(α0＋β0)＝tan α0＋tan β0．

其中真命题的个数是(

) A．0

C．2

B．1 D．3 解析：选D．对于①，存在x＝0，使得x2＝0，故①是假命题；显然②③④是真命题．

6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成特称命题为________________________________________________________________________．

解析：特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”．

答案：∃x0＜0，(1＋x0)(1－9x0)2＞0 π0，，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

7．若“∀x∈4ππ0，上恒成立，即y＝tan x在0，上解析：由题意，原命题等价于tan x≤m在区间44π0，上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值的最大值小于或等于m，又y＝tan x在4为1．

答案：1 8．下列命题：

①存在x0<0，x20－2x0－3＝0；

②对于一切实数x<0，都有|x|>x；

③已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm．

其中，所有真命题的序号为________．

解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，

2所以存在x0＝－1<0，使x0－2x0－3＝0，故①为真命题；

②显然为真命题；

③当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故③为假命题．

答案：①②

9．指出下列命题中的量词，并判断真假．

(1)空间中所有的四边形都共面；

(2)任意两个奇函数的和在公共定义域上都是奇函数；

(3)有的函数是非奇非偶函数．

解：(1)量词为“所有的”．是假命题．

(2)量词为“任意”．是真命题．

(3)量词为“有的”．是真命题．

10．若命题“∃a0∈[1，3]，使a0x2＋(a0－2)x－2＞0”是真命题，求实数x的取值范围．

解：令f(a0)＝a0x2＋(a0－2)x－2＝(x2＋x)a0－2x－2，则f(a0)是关于a0的一次函数，由题意得，(x2＋x)－2x－2＞0或(x2＋x)·3－2x－2＞0．

即x2－x－2＞0或3x2＋x－2＞0，

2解得x＜－1或x＞．

3[B

能力提升] 11*x1－x11．已知命题p：∀x∈N，≥，命题q：∃x∈N，2＋2＝22，则下列命题23*xx中为真命题的是(

) A．p∧q

C．p∧(﹁q)

B．(﹁p)∧q

D．(﹁p)∧(﹁q) 111解析：选C．因为y＝xn(n为正整数)在(0，＋∞)上是增函数，又>，所以∀x∈N*，223x1x1－xx1－xx1－x≥成立，p为真命题；因为2>0，2>0，所以2＋2≥22·2＝22，当且仅当3x11－2x＝21x，即x＝时等号成立．因为x＝∉N*，所以q为假命题，所以p∧(﹁q)为真命题．

2212．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(

) A．a≥4

C．a≥5

B．a≤4 D．a≤5 解析：选C．当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈[1，2]．又y＝x2在[1，2]上的最大值是4，所以a≥4．因为a≥4⇒/a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C．

13．已知函数f(t)＝log2t，t∈[2，8]，若命题“对于函数f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．

1解：易知f(t)∈2，3．

由题意，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，则g(m)>0对任意的1m∈2，3恒成立．

1g>0所以2，

g（3）>012（x－2）＋（x－2）2>0即，

23（x－2）＋（x－2）>0解得x<－1或x>2．

故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

14．(选做题)函数f(x)对一切实数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0．

(1)求f(0)的值；

(2)在(0，4)上存在实数x0，使得f(x0)＋6＝ax0成立，求实数a的取值范围．

解：(1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x，令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2．又因为f(1)＝0，所以f(0)＝－2．

(2)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x＋2×0＋1)x＝x2＋x，所以f(x)＋6＝x2＋x＋4．

f（x0）＋6所以要在(0，4)上存在x0使f(x0)＋6＝ax0成立，只需在(0，4)上存在x0使a＝x02x0＋x0＋444＝＝x0＋＋1．而x0＋＋1≥4＋1＝5，等号当且仅当x＝2时成立．

x0x0x0故所求a的取值范围为a≥5．