用频率作为概率的估计值优质教案设计

§6．1．1

频率与概率(一) 长新中学

杨松军

教学目标：

(一)教学知识点

通过实验．理解当实验次数较大时实验频率稳定于理论概率，并据此估计某一事件发生的概率．

(二)能力训练要求

经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力．

(三)情感与价值观要求

1．积极参与数学活动．通过实验提高学生学习数学的兴趣．

2．发展学生的辩证思维能力．

教学重点：

1．通过实验.理解当实验次数较大时。实验频率稳定于理论概率．并据此估计某一事件发生的概率．

2．在活动中发展学生的合作交流意识和能力．

教学难点：辩证地理解当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率．

教学方法：实验——交流合作法．

教具准备：每组准备两组相同的牌，每组牌都有两张。

教学过程：

一、创设问题情境，引入新课

问题1：我们在七年级时，曾用掷硬币的方法决定小明和小丽谁去看周末的电影：任意掷一枚均匀的硬币.如果正面朝上，小丽去；如果反面朝上，小明去．这样决定对双方公平吗?

1

[公平!因为我们做过这样的试验，历史上的数学家也做过掷硬币的实验，经过实验发现当次数很大时，任意掷一枚硬币．会出现两种可能的结果：正面朝上、反面朝上，这两种结果出现的可能性相同.都是1.] 2 问题2：任意掷一枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)．“6”朝上的概率是多少? [任意掷一枚均匀的小立方体，所有可能出现的结果有6种：“1”朝上，“2”朝上,“3”朝上，“4”朝上，“5”朝上，“6”朝上，每种结果出现的概率都相等，其中“6”朝上的结果只有一种，因此P(“6”朝上)＝1.] 6 [师]上面两个游戏涉及的是一步实验．如果是连续掷两次均匀的硬币。会出现几种等可能的结果．出现“一正一反”的概率为多少呢?如果将上面均匀的小立方体也连续掷两次，会出现几种等可能的结果，两次总数都是偶数的概率为多少呢?从这一节开始我们将进一步学习概率的有关知识．

我们用实验的方法估计出了任意掷一枚硬币“正面朝上”和“反面朝上”的概率．同样我们也可以通过实验活动．估计较复杂事件的概率．

二、分组实验，进一步理解当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率．

1．活动一：

活动课题

通过摸牌活动，探索出“实验次数很大时，实验的频率渐趋稳定”这一规律．

活动方式

分组实验，全班合作交流．

活动步骤

准备两组相同的牌，每组两张。两张牌的牌

面数字分别是1和2．从每组牌中各摸出一张，

称为一次实验．

(1)估计一次实验中。两张牌的牌面数字和可能有哪些值? (2)以同桌为单位，每人做30次实验，根据实验结果填写下面的表格：

2

牌面数字和

频数

频率

2

3

4

(3)根据上表，制作相应的频数分布直方图．

(4)根据频数分布直方图．估计哪种情况的频率最大? (5)计算两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少? (6)六个同学组成一组，分别汇总其中两人、三人、四人、五人、六人的实验数据，相应得到实验60次、90次、120次、150次、180次时两张牌的牌面数字之和等于3的频率，填写下表．并绘制相应的折线统计图．

实验次数

两张牌面数字和等于3的频数

两张牌面数字和等于3的频率

60

90

120

150

180

(评析：在具体实验活动的展开过程中．要力图体现各个步骤的渐次递进．(1)在一次实验中，两张牌的牌面数字和可能为2，3，4：(2)学生根据自己的实验结果如实填写实验数据；(3)制作相应的频数分布直方图，一方面为了复习巩固八年级下册有关频数、频率的知识，同时也便于学生更为直观地获得(4)的结论；(4)一般而言，学生通过实验以及上面(2)(3)的图表容易猜想两张牌的牌面数字和为1113的频率最大．理论上．两张牌的牌面数字和为2，3，4的概率依次为,,，424应该说，经过30次实验，学生基本能够猜想两张牌的牌面数字和为3的频率最大．当然，这里一定要保证实验的次数，如果实验次数太少，结论可能会有较大出入；(5)有了(4)中的结沦．自然过渡到研究其频率的大小．当然，两张牌的牌面数字和等于3的频率因各组实验结果而异．正是有了学生结论的差异性，才顺理成章地展开问题(6)，汇总组内每人的实验数据；(6)目的在于通过逐步汇总学生的实验数据，得到实验60次、90次、120次、150次、180次时的频率．并绘制相应的折线统计图，从而动态地研究频率随着实验次数的变化而变化的情况)

3

2．议一议

（1）在上面的实验中，你发现了什么?如果继续增加实验次数呢?与其他小组交流所绘制的图表和发现的结论．

点评：通过上面图表的交流与研讨，一般学生可能会发现：在各组的折线统计图中，随着实验次数的增加，频率的“波动”较小了（或实验结果的差异较小,）实验的数据即两张牌的牌面数字和等于3的频率比较稳定．

（2）也就是说，同学们从实验中都能体会到实验次数较大时，实验频率比较稳定．请问同学们估计一下，当实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率大约是多少?（大约是1．）

2 谁能将实验次数更进一步增加呢?越大越好．

评析：学生通过上面的经验可能会想到把全班各组数据集中起来，这样实验次数就会大大增加．

[师]我们集中全班的实验数据，可以使实验次数达到一千多次．下面我们汇总全班的实验次数及两张牌的牌面数字和为3的频数，求出两张牌的牌面数字和等于3的频率．

(可让各组一一汇报，然后清同学们自己算出) 1 [约为．] 2 [师]与你们的估计相近吗? 3．做—做

你能用我们学过的知识计算出两张牌的牌面数字和为3的概率吗？

点评：每组牌中，每张牌被摸到的可能性是相同的，因此．一次实验中．两张牌的牌面数字的和可能的情况有：

1+1＝2； 1+2＝3；

2+1＝3； 2+2＝4．

共有四种情况．而和为3的情况有2种，因此，P(两张牌的牌面数字和等于213)= ＝. 42

4

4．想一想

我们在前面估算出了当实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率11约为．接着又计算出了两张牌的牌面数字和等于3的概率也为．比较两者之22间的关系，你可以发现什么呢?同学们可相互交流意见．

点评：学生一般会可以发现“实验频率稳定于理论概率”这一结论．也就是说，当实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率稳定在相应的概率附近．

注意：由于实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率稳定在相应的概率附近，因此我们可以通过多次实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．“当实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率稳定在相应的概率附近”是否意味着实验次数越大。就越为靠近?应该说．作为一个整体趋势，上述结论是正确的，但也可能会出现这样的情形：增加了几次实验，实验数据与理论概率的差距反而扩大了．同学们也可以从绘制的折线统计图中发现．

三、随堂练习

活动二：

活动课题

利用学生原有的实验数据统计两张牌的牌面数字和为2的频率，进—步体会当实验次数很大时，频率的稳定性及其与概率之间的关系．

活动方式

小组活动，全班讨论交流．

活动步骤

(1)六个同学组成一个小组，根据原来的实验分别汇总其中两人、二人、四人、五人、六人的数据，相应得到实验60次、90次、120次、150次、180次时两张牌的牌面数字和等于2的频率．

(2)根据上面的数据绘制相应的统计图表。

5

(3)根据统计图表估计两张牌的牌面数字和等于2的概率．

(活动完成后，讨论、总结) 1处波41动．而且波动越来越小，由此可估计两张牌的牌面数字和等于2的概率为．

4点评:学生通过统计图表可以发现随着实验次数的增加，实验的频率在我们也可以通过计算求出两张牌的牌面数字和等于2的概率：

即两张牌的牌面数字的和可能的情况有：

1+1＝2； 1+2＝3；

2+1＝3； 2+2＝4．

共有四种情况．而和为2的情况有1种，因此，P(两张牌的牌面数字和为2)＝1. 4四、课时小结

本节课通过实验、统计等活动，进一步理解“当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率”这一重要的概率思想．

五、课后作业

习题6．1 A组、A+

组1、2；B组、C组1.

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