反证法教案3

课题

3

反证法

授课人

知识技能

通过实例体会反证法的含义．培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力．

了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题

通过学习反证法，让学生体会用直接证法证明命题困难时，用反证法解决数学问题时的优势．

培养生独立思考，积极探索的学习态度，认识数学科学价值，提高学习数学的兴趣．

教

学

目

标

数学思考

问题解决

情感态度

教学重点

教学

难点

授课类型

教具

教学步骤

回顾

师生活动

应用反证法解决简单的数学问题．

证明过程中引出矛盾所在．

新授课

课时

多媒体课件

教学活动

第1课时

设计意图

学生回忆并回答，为学反证法做好准备.

勾股定理及逆定理的主要内容是什么？

警察局里有5名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：

A说：这里有1个人说谎．B说：这里有2个人说谎. C说：这里有3个人说谎．D说：这里有4个人说谎. E说：这里有5个人说谎. 聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？你会释放谁？

【探究】在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.

求证：a2＋b2≠c2. 问题：根据勾股定理及其逆定理，你能直接证明吗？

思考：假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的．所以a2＋b2≠c2是正确的. 有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法. 归纳：反证法的步骤：

1.假设命题的结论的反面是正确的；2.从这个假设出发，活动

一：

创设

情境

导入

新课

从引人入胜的探案推理入手，能很好激发学生的兴趣，并从推理中体会反证法的思想

活动

二：

实践

探究

交流

新知

学生自主探究，发现用以前的证明方法不能很好的说明问题，激发探究热情．并通过该例，初步感知反证法的基本步骤.

经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；

3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的．

例1

【教材p116页例5】求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：两条相交直线l1与l2. 求证：l1与l2只有一个交点. 例2

【教材p116例6】求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 【归纳总结】用反证法证明一个命题时，要先把文字命题转化为符号命题，写出已知和求证，再用反证法完成证明．证明过程的步骤主要是：

先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 变式：用反证法证明：两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也与第三条直线平行．

【当堂训练】

1.要证明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，下列a、b的值不能作为反例的是(

) A.a＝1，b＝－2

B．a＝0，b＝－1

C.a＝－1，b＝－2

D．a＝2，b＝－1 2.选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设(

) A.∠A>45°，∠B>45°

B.∠A≥45°，∠B≥45°

C.∠A<45°，∠B<45°

D.∠A≤45°，∠B≤45°

3.用反证法证明命题“在直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设(

) A.有一个锐角小于45°

B.每一个锐角都小于45°

C.有一个锐角大于45°

D.每一个锐角都大于45°

活动

三：

开放

训练

体现

应用

通过对例1与例2的分析与证明，让学生熟悉反证法的步骤与思路．体会反证法是间接证法的含义.通过练习感受反证法，进一步体会到反证法的关键以及怎样得到矛盾．最后通过挑战自我，更进一步体会到反证法的作用. 考查学生的解决问题的能力，训练学生反证法的思想与意识. 活动

四：

课堂

总结

反思

图14－1－

4.用反证法证明：如图14－1－所示，已知a⊥b，b⊥c，那么a∥b.

总结、扩展

学生活动：谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？

教学说明：学生先独立完成小结，在学生回答的过程中老师引导学生将本节的知识系统化. 作业：

课本p118中的习题14.1中的T6.

【知识网络】

3

反证法

假设反证法推理得到矛盾

否定假设，则原命题的结论成立框架图式总结，更形成知识网络

【教学反思】

①[授课流程反思] 勾股定理的逆定理引入反证法，可激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲，引领学生不断探索，不断深入. ②[讲授效果反思] 用实例体会反证法是本节课的重点，如何引发矛盾是本节课的难点，为了突破这一难点，先让学生去证明几个命题，由学生独立探究的过程，这样学生较容易地突破反思，更进一步提升. 了本节课的难点. ③[师生互动反思] ________________________________________________________________________ ④[习题反思] 好题题号

例题1，2

错题题号

当堂训练2