配方法优质课教案

教学内容

【知识精讲】

1.一元二次方程基本概念

定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：把

称为一元二次方程，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

一元二次方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

注意点：（1）要确定各项系数a、b、c的值，一定要把方程化为一般形式。

（2）时刻记住它是一个方程，代入一个数字或字母要符合方程左右两边相等关系。

2.直接开平方法

形如x²=p 或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。

如果方程化成x²=p的形式，那么可得。

如果方程能化成(nx+m)²=p(p≥0)的形式，那么，进而得出方程的根。

注意：

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

3.一元二次方程配方法

1

将一元二次方程配成(x+m)²=n的形式，再利用直接开平方法求解的方法。

用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为一般形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=(a±b)²

配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

举例

例一：用配方法解方程

解：将常数项移到方程右边

将二次项系数化为1：

方程两边都加上一次项系数一半的平方：

配方：

2

直接开平方得：

∴.∴原方程的解为

,

【例题精讲】

例1：下列选项中是一元二次方程的为(

) A．x2＋2x－3

B．x2＋3＝0 C．(x2＋3)2＝9

D．x＋1x2＝4 例2：方程3x23x3=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为(

) 3A．3

B．3

C．2

D．－9 化为一元二次方程的一般形式是(

) 例3：把方程(x5)(x+5)＋(2x－1)＝0A．5x2－4x－4＝0

B．x2－5＝0 C．5x2－2x＋1＝0

D．5x2－4x＋6＝0

x例4：已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为__________．

例5：一元二次方程

的根的情况是

A. 有两个不相等的实数根

B. 有两个相等的实数根

3

C. 无实数根

例6：解方程：

（1）14x2－3＝0

(3)(x－1)2－3＝0

例7：解下列方程：(1)x2－6x＋5＝0

D. 无法确定

（2）9x2=16

(4)12(3－x)2－3＝0.

(2)x2－4x＝－4 4

(3)y+222y—4=0 (4)(x－1)2－2(x－1)＋＝0. 21

例8：用配方法求解下列问题

（1）求

2x-7x+2 的最小值

；

（2）求-3x+5x+1 的最大值．

22【课堂练习】

1.已知关于x的方程(k－3)x|k|1－x－2＝0是一元二次方程，则不等式kx－2k＋6≤0的解集－为

。

2.下列方程化为一般形式后，常数项为零的方程是(

) A．5x－3＝2x2

B．(2x－1)(2x＋4)＝－4 C．(3x－1)(2x＋4)＝1

5

D．(x＋3)(x＋2)＝－6

w 3.若x＝2是关于x的一元二次方程x2－mx＋8＝0的一个解，则m的值是(

) A．6

B．5

C．2

D．－6 4.已知关于x的方程(m－1)xm＋1＋(m－2)x－1＝0. 2(1)若方程是一元二次方程，求m的值；

(2)若方程是一元一次方程，则m是否存在？若存在，请直接写出m的值，并把方程解出来．

5.解下列方程：

2（1）

x111

（2）

16x25

（3）

0.2x2350

（4）

9(x1)20

6

6.

用配方法解方程：

（1）

（2）x＋10x+20

= 0 2

（3）x2-6x＝4

（5）3x28x30；

7.（1）求代数式x24x8的最值．

4）x2-x＝1

（6）2x28x10．7 （

（2）当x取任意实数时，你能判别代数式

x26x17的值的符号吗？

【课后作业】

1.若

a

是一元二次方程

x2﹣2x﹣5=0 的一个根，则代数式

3a2﹣6a﹣2 的值是

．

2.如果

2

是方程

x2﹣3x+k=0 的一个根，则常数

k

的值为（

）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 23.已知x＝1是一元二次方程ax＋bx－40＝0的一个解，且a≠b，求值．

8 a2b2的2a2b

4.用直接开平方法解方程：

（1）

(2x2)26

（2）

3(x1)260

（3）

(x3)(x3)9

5. 用配方法解方程：

（1）2x2＋8x－1＝0

（3）(x1)26(x1)270

（4）

(x2)2(12)2

（2）x222x40

（4）－2x2＋8x－5＝0. 9

（5）122x2x30

（6）2x252x20

6.用配方法求代数式的最小值．

3x26x5

7.试说明：不论k取何实数，关于x的方程(k方程．

26k12)x23(k29)x必是一元二次10

8.已知M

2x23x3，N3x2x7，当x取任意实数时，试比较M与N的大小．

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