10.3 解二元一次方程组ppt配套的教学设计及说课稿

古人是如何使用加减消元法的

学过二元一次方程组的同学一定解决过这样的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡和兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？

下面是我们熟悉的方法：设笼中有x只鸡和y只兔，这样可得方程组：

xy35(1)x4y94(2)

2（1）×2得：2x2y70

（3）

（2）－（3）得：2y24

所以

y12

把y12代入（1）得

x23

于是得到方程组的解：x23y12

通过百度搜索我们可以看到“鸡兔同笼”是中国古代著名趣题之一。大约在1500年前

，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”

孙子的解法翻译成现代的书写方式就是：

兔数：9423512

鸡数：351223

这一思路新颖而奇特，令古今中外数学家赞叹。如果用“加减消元”的思想对它进行解释的话，孙子是运用除法使未知数x的系数相同的，也就是：

（2）÷2得：x2y47

（3）

（3）－（1）得：y12

把y12代入（1）得

x23

于是得到方程组的解：x23

y12多么的直接。

美国杰出数学家波利亚还对这种解法创设了一个奇妙情景：意外地看见笼中的禽畜正在作一种古怪的姿式：每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其（两条）后腿站着，在这个不寻常的情况下，从下面数，就只有47条腿了，这47条腿比35个头多出的数目12就是所有兔子多出的那一条腿了。

古人的方法告诉我们：灵活地运用消元的思想可以使解题的过程简单化，老师从来没有教过我们用除法来使同一个未知数的系数相同，这个发现让我高兴了好几天。

（指导老师

刘春阳）

从小学算法中看加减消元法

钟吾初中初一（6）班

井

景

“鸡兔同笼”问题在小学就接触过，那时候我们就研究出许多的算法，同学们想出的算法新颖别致让我赞叹，现在我们学习二元一次方程组的解法，特别是学习“加减消元法”，这让我对小学学习的“鸡兔同笼”的解法有了更深层次的理解。

已知有鸡和兔35只，共有94只脚，问鸡和兔各有几只？

小学算法一：鸡和兔训练有素，吹一声哨，它们抬起一只脚，94－35=59；再吹一声哨，它们又抬起一只脚，59－35=24，这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还两只脚立着。

所以，兔子有24÷2=12只，鸡有35－12=23只。

用解二元一次方程组的方法，对应着就是：

设笼中有x只鸡和y只兔，这样可得方程组：

xy35(1)2x4y94(2)

（2）－（1）得：x3y59

（3）

（3）－（1）得：2y24

所以

y12

把y12代入（1）得

x23

于是得到方程组的解：x23

y12当然，可以把前两步和在一起，

就是（2）－（1）×2得：2y24

小学算法二：如果

35只都是兔，一共应有4×35=140只脚，这和已知的94只脚相比多了140－94=46只脚，这多的46就是因为鸡比兔少了两只脚，所以鸡的只数是46÷2=23，兔的只数是35－23=12。

用加减消元法就是：

（1）×4得：4x4y140

（3）

（假设

35只都是兔，共有

140只脚）

（3）－（2）得：2x46

（和已知的94只脚相比多了46只脚）

（以下省略）

小学算法三：如果35只都是鸡，一共应有2×35＝70只脚，这和已知的94只脚相比少了94－70=24只脚，这少的24就是因为兔比鸡多了两只脚，所以兔的只数是24÷2=12，鸡的只数是35－12=24。

用加减消元法就是：

（1）×2得：2x2y70

（3）

（假设

35只都是鸡，共有

70只脚）

（2）－（3）得：2y24

（和已知的94只脚相比少了24只脚）

（以下省略）

由此可以看出，小学应用题的一些算法其实都是中学关于方程的应用题的算法的变化，有时回过头来看以前学过的知识，会让我们对旧知识产生新想法，原有的方法升华了。

（指导老师

邹金贵）

我可以运用公式解决“鸡兔同笼”问题

钟吾初中初一（3）班

胡

晓

在小学的时候我就接触过“鸡兔同笼”的问题，老师还编写了许多类似的问题让我们练习，天天没完没了的加、减、乘、除，让我恨死了古人的“鸡兔同笼”了。

到了七年级第二学期，学习二元一次方程组，我再次接触了“鸡兔同笼”问题，等我用方程组的思想来考虑“鸡兔同笼”这一类的问题时，觉得方程组的方法简直太好了，小学的方法真的很伤我的脑细胞。于是我发誓：用代数方法解决所有的“鸡兔同笼”问题。

已知有鸡和兔a只，共有b只脚，问鸡和兔各有几只？

设笼中有x只鸡和y只兔，这样可得方程组：

xya(1)

2x4yb(2)（1）×2得：2x2y2a

（3）

（2）－（3）得：2yb2a

所以

y12ba

把y112ba代入（1）得

x2a2b

1于是得到方程组的解：x2ab2y1

2ba例1：鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露；数清脚共五十双，各有多少鸡和兔？

这里a36，b100

x2a12b23612100

22

y12ba1210036

14

所以鸡有22只兔有14只。

如果改变问题背景，只要数量之间的关系不变，仍然可以利用这个公式。

例2：在一个停车场上，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共108个轮子。求小轿车和摩托车各有多少辆？

摩托车有2个轮子小轿车有4个轮子，这是和“鸡兔同笼”问题同类型的。

设停车场上有x辆摩托车和y辆小轿车，

这样a32，b108

代入公式可计算得x10y22

所以摩托车有10辆，小轿车有22辆。

根据推断的x、y的表达式能看出：“鸡兔同笼”问题中鸡和兔只数a和共有脚的只数b要满足一定的条件，才能使题目有解。

a和b要满足一定的条件是：

（1）b是偶数；

（2）2ab4a

问题：有若干只鸡和兔同在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有

只脚，问笼中各有几只鸡和兔？把问题补充完整，再进行解答。

根据上面的分析，补上的数可以是：50至100之间的任一偶数。

（指导老师

高胜权）