小结与思考教学设计与反思

一元二次方程（复习1）

教学目标：

1、

理解并掌握一元二次方程的有关概念。

2、

能根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。

3、

熟悉运用一元二次方程解实际问题。

重点：学会解一元二次方程，运用一元二次方程解决实际问题；

难点：根与系数关系的灵活运用，运用一元二次方程解决实际问题

教学过程

一、回归教材

1．【九上P20习题第9题改编】若关于x的一元二次方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，则k的非负整数值是(

) A．1

B．0，1

C．1，2

D．1，2，3 2．【九上P29习题第3题改编】某农场的粮食产量在两年内从3000 t增加到3630 t，设这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是(

) A．3000(1＋x)＝3630 B．3000(1＋2x)＝3630 C．3000(1＋x)2＝3630 D．3000(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝3630 3．【九上P20习题第6(3)题改编】方程x(x－3)＝10的解是x＝________．

4．【九上P17练习第2题】k取什么值时，关于x的一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根？求此时方程的根．

【解析】

由方程有两个相等的实数根，知方程的根的判别式为零．

二、考点聚焦

考点1 一元二次方程的概念及一般形式

含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

考点2 一元二次方程的四种解法

直接开222

适合于(x＋a)＝b(b≥0)和(ax＋b)＝(cx＋d)形式的方程

平方法

基本思把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0

因式分想

解法

方法规主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式进

律

行因式分解

已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－

求根

－b±b2－4ac

公式

4ac≥0时，x1，2＝

2a

公式法

公式法

(1)将方程化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；

解方程

(2)确定a、b、c的值；

的一般

(3)若b2－4ac≥0，则直接将a、b、c的值代入求根公

步骤

式，求得x1、x2.若b2－4ac<0，则方程无实数根

考点3 一元二次方程的根的判别式

关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

根的判别式定义

的根的判别式为b2－4ac.也把它记作Δ＝b2

－4ac

一元二次

b2－4ac>0⇔方程有__________的实数根

方程的根

的判别式

判别式与根的关

系

b2－4ac＝0⇔方程有__________的实数根

b2－4ac<0⇔方程__________实数根

考点4 一元二次方程的应用

应用类型

等量关系

(1)增长率＝增量÷基础量

(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，a(1－m)n＝b (1)本息和＝本金＋利息

(2)利息＝本金×利率×期数

(1)毛利润＝售出价－进货价

(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用

(3)利润率＝利润÷进货价

增长率问题

利率问题

销售利润问题

三、考向探究

探究1

一元二次方程的有关概念

命题角度：

1．根据一元二次方程的概念求字母的值；

2．把方程化成一元二次方程的一般式；

3．根据一元二次方程解的概念求字母的值．

例1

若(m－2)xm2－2＋5x＋4＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________．

|针对训练| 【2016·连云港】

已知关于x的方程x2＋x＋2a－1＝0的一个根是0，则a＝

________．

【2017·菏泽】

关于x的一元二次方程（k-1）x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是________．

探究2

一元二次方程的解法

例2 【2015·徐州】解方程：x2－2x－3＝0. 【2017·丽水】解方程：(x－3)(x－1)＝3. 解一元二次方程时，要先思考，然后选择解法．

探究3

一元二次方程根的判别式

例3当k取什么实数时，方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0符合下列要求：

(1)有两个不相等的实数根？

(2)有两个相等的实数根？

(3)有一根为0?

(4)无实数根？

解：因为b2－4ac＝[－(2k＋1)]2－4(k2－1)＝4k＋5. 5所以(1)当b2－4ac>0，即4k＋5>0，k>－时，方程有两个不相等的实数根；

45(2)当b－4ac＝0，即4k＋5＝0，k＝－时，方程有两个相等的实数根；

42(3)当k2－1＝0，即k＝±1时，方程有一根为0；

5(4)当b2－4ac<0，即4k＋5<0，k<－时，方程无实数根．

4|针对训练| 1．【2017·淄博】若关于x的一元二次方程kx2-2x-1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）

A.k>-1 B.k>-1且k≠0 C.k<-1 D.k<-1且k=0

92．【2017·齐齐哈尔】若关于x的方程kx2-3x-

＝0有实数根，则实数k4的取值范围是( ) A.k=0 B.k≥1且k≠0 C.k≥-1 D.k>-1

探究4 一元二次方程根与系数的关系

3．【2017·黄冈】已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)设方程①的两个实数根分别为x1、x2，当k＝1时，求x12＋x22的值．

探究5 一元二次方程的应用

例4 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？

(2)两个正方形的面积之和可能等于12 cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

|针对训练| 1．【2017·桂林】为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．

(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；

(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需2000元，则最多可购买电脑多少台？

解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，

根据题意得：5000(1＋x)2＝7200，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．

答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.

(2)2018年投入基础教育经费为7200×(1＋20%)＝8640(万元)，

设购买电脑m台，则购买实物投影仪(1500－m)台，

根据题意得：3500m＋2000(1500－m)≤86400000×5%，

解得：m≤880.

答：最多可购买电脑880台．

2．【2017·眉山】东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．

(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；

(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？

解：(1)设此批次蛋糕属第x档次产品，则10＋2(x－1)＝14，解得x＝3. 答：此批次蛋糕属第3档次产品．

14－10(或：∵＋1＝3，∴此批次蛋糕属第3档次产品) 2

(2)设该烘焙店生产的是第m档次的产品．

根据题意，得[10＋2(m－1)][76－4(m－1)]＝1080，

解之，得m1＝5，m2＝11(舍去)．

答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．

五、课堂小结

本节课你有哪些收获？