1.1.3 四种命题间的相互关系优秀教案

1.1.2 四种命题

1.1.3四种命题间的相互关系

一、教学内容分析

本节课是高中（选修1—1）第一章《常用逻辑用语》的第一节“命题及其关系”的第二课时，要学的内容是四种命题及其相互间关系，其核心是逆否关系,理解它关键就是要弄清两个命题中的条件和结论.学生已经学习了命题的概念以及命题的真假性判断，本节课的内容四种命题及其相互关系就是在此基础上的发展.由于它还与某些证明题有联系，所以在本学科有重要的地位，是本学科的一般内容.教学的重点是理解四种命题之间的相互关系，解决重点的关键是找出两个命题中条件与结论的关系. 二、教学目标

1、知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假. 2、过程和方法：本节课采用问题探究的方式，使学生深刻理解四种命题及其相互间的关系，培养了学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性的解决问题的能力. 3情感、态度与价值观：通过学生举例，激发学生学生的积极性，培养学生的逻辑思维能力. 三、教学重点和难点

重点：会写四种命题并会判断四种命题的真假；四种命题之间的相互关系及真假性之间的联系. 难点：四种命题的相互关系及其真假性的判断. 四、教学支持条件分析

准备多媒体课件. 五、教学过程

（一）引入新课

思考：观察下列四个命题：

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；

命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论分别是什么？它们之间分别有什么关系？

【设计意图】学生通过思考和讨论，回顾了本章研究的命题的形式，同时也将学生的注意力集中在思考四种命题的条件和结论的关系上. （二）探究新知

探究一：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；

结论1：命题（1）的条件是命题（2）的结论，且命题（1）的结论是命题（2）的条件，即它们的条

件和结论互换了. 定义：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”. 例如“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”. 这里我们同样可以发现命题（3）和（4）是互逆命题. 结论2：对于命题（1）（3），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题. 也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若p，则q”. 例如“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”. 这里我们同样可以发现命题（2）和（4）是互否命题. 结论3：对于命题（1）（4），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题. 也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若q，则p”. 例如“同位角相等，两直线平行”的否命题是“两直线不平行，同位角不相等”. 这里我们同样可以发现命题（2）和（3）是互否命题. 【设计意图】理解四种命题的概念. 例1

写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假. （1）若a0，则ab0；

22（2）若ab，则ab；

（3）当c0时，若ab，则acbc；

（4）四条边相等的四边形是正方形．

探究二：下列四个命题中，我们已经知道命题（1）与命题（2）（3）（4）之间的关系.你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？

（5）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（6）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

（7）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

（8）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；

总结：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系，如图所示．

若p，则q

原命题

互

否

否命题

互逆

若p，则q

若q，则p

互逆

互

否

逆为

逆

为

互

否

若q，则p

逆命题

互

否

逆否命题

【设计意图】理解四种命题的概念，及通过关系图，让学生直观感受它们之间的相互关系，熟练掌握由一种命题出发，准确地写出其他三种命题的能力．

探究三：

四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？

结合例题，学生分组讨论，不难发现：

一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

【设计意图】通过大量列举实例，让学生自主感受四种命题真假性的相互关系，使之更有说服力．

22例2

证明：若xy0，则xy0．

2证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x0，则x0，所以x2y20，也就是x2y20

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题. （三）理解新知

1．四种命题的转化首先要找出原命题的条件和结论，然后写出命题条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构直接转化即可．

2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．有时命题的表示是简略式，此时应先分清命题的条件p和结论q，然后根据概念写四种命题．

3．判断四种命题的真假，首先要正确写出四种命题，如果直接判断有难度，可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性判断命题的真假．四种命题的真假性是成对出现的．

4．注意命题的否定和原命题的否命题之间的区别：命题的否定指的是命题p这种形式的命题，得到的是p；原命题的否命题指的是命题“若p，则q”这种形式的命题，得到的是“若p，则q”．

5．等价命题转换法：在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题这种间接证明命题的方法，是反证法的一种．

（四）练习反馈

1、判断下列说法是否正确：

（1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真。

（2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。

2、如果一个命题的逆命题为假命题，则它的否命题为（

）

A.

一定是假命题

B. 不一定是假命题

C.

一定是真命题

D.

有可能是真命题

3、分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

（1）若q1,则方程x22xq0有实根；

（2）若ab0，则a0或b0.

4、证明：若a2b22a4b30，则ab1. 【设计意图】指导学生熟练掌握四种命题的概念，掌握四种命题的真假判断．

（五）课堂小结

1．原命题、逆命题、否命题与逆否命题四种命题的定义及其相互关系图．

2．由一种命题出发，准确地写出其他三种命题．

3．运用原命题与逆否命题逻辑等价、逆命题与否命题逻辑等价解决命题真假问题．

（六）布置作业

作业：习题1.1

A组

2-4题

补充作业：

l．命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是（

）．

A．若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

C．若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

2．一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中（

）．

A．真命题的个数一定是奇数

B．真命题的个数一定是偶数

C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数

D．上述判断都不正确

3．有下列命题：（

）．

①“若xy1，则x,y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b1，则方程x2bxbb0有实根”的逆否命题；

④“若A22BB，则AB”的逆否命题．

22其中真命题是

（填序号）．

4．证明：若a4b2a10，则a2b1．

答案：l．B

2．B

3．①③

六、教后反思

本节主要是依据四种命题及其关系是简单逻辑的基础来设计的．虽然本节内容较为简单，但是学生易忽视细节问题从而导致出错．所以本节注重定义的产生过程，让学生自主参与举例，并结合大量命题来探究四种命题的真假性，使得教学过程有根有源，学生理解自然．再通过题型的训练，让学生熟练掌握本节的重难点，达到学有所用的目的．

七、板书设计

1.1.2-1.1.3 四种命题及其关系

定义

例1

例2 小结

作业