小结教学内容分析

导数与函数的单调性

一、学习目标

1、知识与技能（1）掌握利用导数研究函数的单调性、极值、闭区间上的最值的方法步骤。

（2）初步学会应用导数解决与函数有关的综合问题。

2、过程与方法

体验运用导数研究函数的工具性，经历运用数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法解决有关函数问题的过程。

3、情感态度与价值观

培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。

二、重点、难点

重点：应用导数解决与函数的单调性、极值、最值，零点等有关的问题。

难点：深刻理解运用导数研究函数的工具性以及应用导数解决与函数有关的综合问题。

三、学习过程

１．知识梳理：

函数的单调性与导数

（１）设函数

y=f(x)在某区间可导, 若f ′(x)>0,则y=f(x)在该区间上是???_____________．

若f ′(x)<0,则y=f(x)在该区间上是_____________．

若f ′(x)=0,则y=f(x)在该区间上是???_____________．

（２）函数

y=f(x)在某区间可导，f ′(x)>0（f ′(x)<0）是函数

y=f(x)在该区间上单调增（减）的____________________条件

函数的极值与导数

（１）

函数f(x)在点

附近有定义，

如果对

附近的所有点都有f(x)

)则f(

)是函数f(x)的一个________；

如果对

附近的所有点都有f(x)>f(

)则f(

)是函数f(x)的一个________；

求函数y=f(x)的极值的方法是

当f ′(

) =0时，

如果在

x0

附近的左侧f ′(x) >0,右侧

f ′(x) <0,那么f(

)是___________．

如果

附近的左侧f ′(x) <0,右侧

f ′(x) >0,那么f(

)是______________．

（２）f ′(x)=0是函数

y=f(x)在

处取得极值的_______________条件. 函数的最值与导数

函数f(x)在［a,b］内连续，f(x)在（a,b）内可导，则函数f(x)在［a,b］内的最值是求f(x)在（a,b）内的极值后，将f(x)的各极值与___________比较，其中最大的一个是_________,最小的一个是__________. 师生活动：学生课前自主探究，课上教师点评。

[设计意图]：知识梳理,辨识易错点，帮助学生形成良好的认知结构。问题1、求下列函数的单调区间

[设计意图]：设计上述问题，主要目的是使学生进一步熟练用导数研究函数单调性的方法与解题步骤，这类问题容易忽略函数的定义域; 单调区间的规范定写法（不用“

∪

”）以及使导数为零的点的处理（导数大于零是函数为增函数的充分不必要条件），因此针对以上可能出现的问题，首先让学生独立思考，针对出现的问题，然后通过生生和师生的交流，共同分析正确的解题方法，完善对问题的全面和完整的解决

问题2、已知

在R上是单调减函数，求

的取值范围。

变式1

若函数f(x)= x³-3ax+2的单调递减区间为(0,2)，求实数a的取值范围；

变式2

若函数f(x)= x³-3ax+2在区间(0,2)上单调递减，求实数a的取值范围. [设计意图]：此题旨在锻炼学生的审题能力和对数学语言精确性和严密性的考查，“函数在某区间内单调”和“函数的单调区间是某区间”，前者说明所给的区间是该函数单调区间的子集，后者说明所给的区间是恰好是函数的单调区间，因此在解题中一定要养成认真审题的好习惯。

问题3、已知函数f(x)=x³-ax²-bx+ 在x=1处有极值10，

（1）求a、b的值; （2）函数f(x)是否还有其它极值？

（3）求函数f(x)在区间[-1，4]上的最值。

[设计意图]：设计上述问题，主要目的是使学生进一步熟练用导数研究函数极值、最值的方法与解题步骤，导数为零是函数有极值的非充分非必要条件。首先让学生独立思考，此题很多同学可能求出a、b的值后忘记检验，针对出现的问题，通过学生讨论，争论，教师讲评，达到对问题的共识。

问题4 、试讨论函数f(x)=x³-6x²+9x-10-a(a ∈R)零点的个数

[设计意图]：此题旨在培养学生运用导数解决与函数有关的综合问题。函数、方程、不等式是相互联系不可分割的一个整体，导数作为研究函数的一种工具，必然也是研究方程、不等式的工具，讨论函数零点的个数也是利用导数求函数极值深层次的应用，应让学生细心体会，并能灵活运用。

问题5、

已知函数f(x)=x³- x²-2x+5当x ∈[-1，2]时，f(x)

变式：（1）若将f(x)

≤m呢？

（2）若将f(x)

>m呢？

（3）若将f(x)

m呢？

（4）若将当x ∈[-1，2]时，f(x)

x0∈[-1，2]使

f(x)

[设计意图]：运用导数研究与函数有关的恒成立问题也是利用导数求函数极值深层次的应用，是非常重要的一种题型，在高考题中经常出现，对培养学生的思维能力及解决综合题的能力很有帮助。

（1）、函数f(x)= 3x³-x+1的极值为_________________________ （2）函数f(x)=㏑x-ax(a>0)的单调增区间为_________________________ （3）函数f(x)=x³-6x²+9x-10零点的个数为________________________ （4）已知函数f(x)=x³-12x+8在区间[ -3, 3 ],上的最大值为M最小值为m则M-m=______ （5）已知函数f(x)=x³-3ax²+2bx 在x=1处存在极小值-1，求a、b的值，并求f(x)的单调区间

（6）已知函数

f(x)=x³+ax²+bx+c 在x=- 与x=1时都取得极值．

⑴

求a 、b的值与函数f(x)的单调区间; ⑵

若对x Î

[ -1, 2 ],不等式

f(x)

恒成立，

求

c 的取值范围

[设计意图]：强化训练，巩固所学知识。

[设计理念]：体现“生本”理念，

从学生的已有经验出发设计问题，让学生经历知识的发生发展过程，在合作交流中形成能力，增长智慧。

[设计亮点]：根据学生的实际情况，设计问题从基础入手，抓住“核心”知识，逐步加深难度，针对在利用导数解决函数的单调性、极值、最值等问题和解题中常见的错误设计一系列的“变式”问题，环环相接，使学生始终处于积极的思考和探索讨论中，形成良好的课堂氛围，为良好的课堂效果打下基础。

[设计中遇到的问题及解决办法] 在设计的过程中，由于导数在函数中的应用较广泛，如何

在有限的时间内使学生高效率的掌握这些知识，形成基本能力成为设计的难点，为了解决上述问题，本文在设计中选取了有利于学生能力形成的核心知识，通过变式整合知识，从而达到

提高课堂教学效率的目的。

[教学效果]

课堂上学生积极参与，在师生合作交流中完成知识的建构和能力的提升，课堂教学效果良好。

[教后反思]：

本节课围绕“核心”知识点及学生的易错点设计、变换问题，引导学生思考讨论，锻炼学生独立解决问题的能力和合作学习的能力，形成自已的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发学生的智慧源泉，实现了举一反三的效果，同时也符合新课改的课堂理念，以培养学生能力为主，学生是课堂的主体，也突出了数学复习课的特点：梳理知识，强化应用。本设计中的问题对中上等的的同学比较适合，对部分学困生学起来有一定的难度，尤待进一步改进。

通过本节课的学习你学到了哪些知识？

掌握了那些数学思想方法？

你认为解题中易出错的地方在哪里？

单调性与导数

．．．．．．【选择题】

1某物体作s=2（1－t）2的直线运动，则t=0．8 s时的瞬时速度为

(

) A．4

B．－4

C－4．8

D－0．8 2．已知函数f（x）=x4－4x3+10x2，则方程f（x）=0在区间［1，2］上的根有

A．3个

B．2个

C．1个

D．0个

3．若f(x)是在（－L，L）内的可导的偶函数，且f(x)不恒为0，则f(x)

（

）

（A）必定是（－L，L）内的偶函数

（B）必定是（－L，L）内的奇函数

（C）必定是（－L，L）内的非奇非偶函数

（D）可能是（－L，L）内的奇函数，可能是偶函

4．已知f(3)2,f(3)2,则lim

'''2x3f(x)的值是

（

）

x3x3A．4

B．0

C．8

D．不存在

【填空题】

5．曲线y=－x上的点到直线2x－y+3=0的最短距离为 6设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________

【解答题】

7．

已知x∈R,求证：ex≥x+1．

28．（2006江西）已知函数f(x)xaxbxc在x322与x1时都取得极值．

3（1）求a、b的值及函数f(x)的单调区间; （2）若对x∈[-1,2],不等式f(x)

9．（2006重庆）已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b,c∈R为常数。

（Ⅰ）若b2>4(c-1)，讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）若b24(c1)，且limx0f(x)c4，试证：6b2。

x

22x++alnx(x0),f(x)的导函数是f(x)

对任意两【探索题】

已知函数f(x)=x个不相等的正数x1、x2，证明：当a4时，f(x1)f(x2)x1x2