3.1.3 空间向量的数量积运算教学内容

第一课时：

§3.1.1

空间向量及其加减与数乘运算

教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：由平面向量类比学习空间向量．

教学过程：

一、复习引入

1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

a既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母、b等表示；

用有向线段的起点与终点字母：AB．长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算：

向量的加法：

向量的减法：

实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a

4. 三个力都是200N，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N的钢板？

二、新课讲授

1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.

→

举例？

表示？（用有向线段表示）

记法？

→

零向量？

单位向量？

相反向量？

→

讨论：相等向量？

同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

→

讨论：空间任意两个向量是否共面？

2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

OBOAAB=a+b，

ABOBOA（指向被减向量），

OPλa

(R)

（请学生说说数乘运算的定义？）

3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．



⑴加法交换律：a

+b

= b

+ a；

⑵加法结合律：(a

+ b) + c

=a+ (b

+ c)；



⑶数乘分配律：λ(a

+ b)

=λa

+λb；



⑶数乘结合律：λ(ua)

=(λu)a

．

4. 推广：⑴A1A2A2A3A3A4An1AnA1An；

⑵A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10；⑶空间平行四边形法则．

5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

⑵ABADAA'；

⑴ABBC；11

(3)ABADCC'；

⑷(ABADAA')．23

师生共练

→

变式训练

6. 练习：课本P92

7. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）

三、巩固练习：

作业：P106

A组

1、2题.

第二课时：

§3.1.2

空间向量的数乘运算（二）

教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．

教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．

教学过程：

一、复习引入

1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理，

二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．

2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a∥b（a≠0），则有b＝a，其中是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数，使b＝a（a≠0），则有a∥b（若用此结论判断a、b所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）. a⑵对于确定的和，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为

|a|，当>0时与a同向，当<0时与a反向的所有向量. 3. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

OPOAta．

其中向量a叫做直线l的方向向量. 推论证明如下：

又∵

对于空间任意一点O，有APOPOA，

∴

OPOAta

，

OPOAta．

①

若在l上取ABa，则有OPOAtAB．(**) 又∵

ABOB

∴

OPOAt(OBOA)(1t)O

AOAtO．B②

11

当t时，OP(OAOB)．③

22理解：⑴

表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．

⑵

表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．

⑶

推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定．

A 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广．

C 4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平D 行四边形.

（

分析：如何用向量方法来证明？）

B 5. 出示例2：如图O是空间任意一点，C、D是线段AB的三等分点，分别用OA、OB表示OC、OD. O 三、巩固练习：

作业：

∵

l//a

，∴

对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得APta．(*)

