1.2.1 充要条件主要内容及教案内容

《充要条件》第一课时

陕西省府谷中学 徐尚志

教学目标

1.知识与技能: 正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；掌握命题的条件的充要性的判断的方法。

2.过程与方法：在师生间的数学交流中增强逻辑思维活动，培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力，并为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础。

3.情感、态度与价值观：

激发学生的学习热情，培养严谨的学习态度和奋发图强的积极进取精神。

教学重难点 1.教学重点：

理解三个概念

，命题的条件的充要性的判断。

2.教学难点：理解必要条件的意义，把充要条件的思想自觉的运用的解题之中。

教学方法

1.教法：采用：“过程教学法”，让学生参与和经历整堂课的思维过程。

2.学法：采用“导学法”，学生在老师的引导下，积极参与，积极思考，发现规律，归纳总结规律。

教学过程及主要内容

一、复习旧知，引入新课

1.1 什么叫命题？命题的一般形式是什么？

生：可以判断真假的语句叫做命题。命题一般有条件和结论，分别用p和q表示，这样命题的一般形式是：若p则q。

1.2 数学上有四种命题，它们有什么关系？

师：四种命题的相互关系如下图：

原命题

逆命题

互

逆

若p则q 若q则p

互

否

为

逆

互

互

否

否

逆

为

否

互

否命题

逆否命题

互

逆

若p则q

若q则p

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：

原命题为真，它的逆命题以及否命题都不一定为真，但它的逆否命题一定为真。

二、问题探究、构建新知

2.1判断下列命题的真假。 （1）若x > 10，则x > 5。

（2）若x>a2+b2，则x>2ab 。

（3）若ab=0,则a=0。

（4）若x +5为无理数，则x为无理数。 （5）有两角相等的三角形是等腰三角形。

（6）若a2>b2，则a>b。

（学生口答，教师播放幻灯片．）（2）、（4）、（5）是真命题，（3）、（6）是假命题． 师： 一般地, “若P则q”为真命题 , 我们说由p可推出q,记作：。所以 P足以导致q,也就说条件p是充分的；则称：是

成立的充分条件．

又：若，也即：，所以q是p成立所必须具备的前提。则称：

是

的必要条件；

这里同学们要注意打破“条件”与“结论”的“位置”不变的观念。在原命题中p是条件，q是结论，在逆命题中q是条件，p是结论，在否命题中﹁p是条件，﹁q是结论，而在逆否命题中﹁q是条件，﹁p是结论。

2.2指出下列各组命题中，p是q的什么条件。

（1）若x > 10，则x > 5。

（2）若x>a2+b2，则x>2ab 。

（3）若ab=0,则a=0。

（4）若x 为无理数，则x2 为无理数。 （5）有两角相等的三角形是等腰三角形。

（学生口答，教师播放幻灯片．）

师：条件的判断归结为命题真假的判断

原命题 真——P是的q的充分条件，

逆命题

真——P是的q的必要条件，全真——P是的q的充分必要条件

从集合角度理解:若条件

以集合

的形式出现，结论

以集合

的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．

①若

，则

是

的充分条件；

显然，要使元素

，只需

就够了。即有它(p)就行

②若

，则

是

的必要条件；

显然，要使元素

，必有，即缺它(p)不行

③若

，则

是

的充要条件；即：同一事物

类似地还有：

④若

，且

，则

是

的既不必要也不充分条件．

三、达标体验

3.1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q的充分条件？哪些命题中的 p是q的必要条件？

（1）若x=y，则x2=y2。

(2) 若x > 0，则x2> 0。

(3) 若（x-a）（x-b）=0，则 x=a。

(4) 若a>b，则ac>bc。

（学生活动，教师引导学生作出回答．）

师：判别步骤：

认清条件和结论。②

考察和的真假。

判别技巧：①

集合的观点。②将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

③否定一个命题只要举出一个反例即可。

四、易错辨析

在一节数学课上，老师给出一道题，让同学们先解，题目是这样的：已知函数f(x)=kx+b，1≤f(1)≤3，－1≤f(－1)≤1，求Z=f(2)的取值范围。

抽生板演暴露错误：

错解：由f(1)=k+b，f(－1)=－k+b得

①+②得：0≤2b≤4，即0≤b≤2 ③

②

×(－1)得：－1≤k－b≤1 ④

④+①得：0≤2k≤4 ⑤

③+⑤得：0≤2k+b≤6。

又∵f(2)=2k+b ∴0≤f(2)≤6，0≤Z≤6 师：同向不等式可加是单向的，本解法用必要条件代替了充要条件，所以扩大了范围。

师正解把f(2)用f(1)和f(－1)整体表示，即设f(2)=mf(1)+nf(－1),待定系数法求出m,n,在用不等式性质同向可加求得Z=f(2)的取值范围。

五、应用举例：

例：是否存在实数p，使q：“4x＋p<0”是r：“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．

师先点拨：思维导图如下，生尝试解答，最后师板演示范。

p[解题过程]

由4x＋p<0，得x<－. 4p设A＝x|x<－4.3分

由x2－x－2>0，得x<－1或x>2. 设B＝{x|x<－1或x>2}.6分

若“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件，则A⊆B.9分

p∴－≤－1，∴p≥4. 4∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件.12分

六、课时小结

这堂课我们主要学习了充分、必要、充要条件这三个概念，它们的定义如下：

如果已知p => q，则说p是q的充分条件；同时说q是p的必要条件

如果既有p => q，又有q => p，即p <=> q，则说p是q的充要条件

如果已知p => q且q ≠> p，则说p是q的充分不必要条件。

如果已知p ≠> q且q => p，则说p是q的必要不充分条件。

如果已知p ≠> q且q ≠> p，则说p是q的既不充分又不必要条件。

可以这样记这些定义：“能推出”是“被推出”的充分条件，“被推出”是“能推出”必要条件；两者能互推的，就互为充要条件。

判别步骤：(1)认清条件和结论。(2)考察p => q和q => p的真假。

判别技巧：(1)可先简化命题。(2)将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

（3）否定一个命题只要举出一个反例即可。

七、布置作业：

板书设计：