3.1.1 空间向量及其加减运算教案教学设计导入整理

教材名称：《普通高中课程标准实验教科书数学必修4人民教育出版社A版》

章节： 第二章第二节向量加法及其几何意义

作者姓名： 教案名称： 通讯地址： 联系电话：

刘飞鸽

向量加法及其几何意

内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗第七中学

15147503854

向量的加法及其几何意义

内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗第七中学 刘飞鸽

一、教材分析 《本课取自普通高中课程标准实验教科书数学4（必修〃人民教育出版社A版）第二章2.2.1，向量是近代数学中重要，基本的数学概念，它既是代数的对象，又是几何的对象。向量作为代数对象，可以像数一样进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线，

平面，切线等几何对象；向量有长度，可以解决有关几何对象得长度，面积，体积等几何

度量问题。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，因此，向量是集

数，形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。

同时向量也是重要的物理模型，平面力场，平面位移以及二者混合产生的做功问题，都可以用向量空间来刻画和描述。向量不仅沟通了代数与几何的联系，而且体现了近现代数学的思想，它在高中数学中的重要地位是不言而喻的。

二、学生学习情况分析

学生已经通过2.1的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量，在学习物理的过程中，已经知道位移，速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则。为本课题的引入提供了较好的条件。本节课中向量加法两个运算法则，大部分学生应该比较容易掌握。在向量的加法运算律的验证过程中，结合律的验证可能对一些基础差的同学来说，找不到突破口。用向量的加法来解决实际问题，对大部分同学来说可能稍微有点难度。

三、设计理念 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。

四、教学目标 根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为：

1、

理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。

2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。

3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。

4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。

五、教学重点与难点 1、教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义。（两个向量的和的概念是向量加法的基础，而向量加法是向量运算的基础，向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义，因此在引入一种向量运算后，总是要考察一下它的几何意义，正因为向量的几何意义，使得向量在解决几何问题时可以发挥很好的作用。）

2、教学难点：向量加法的运算律。（设计让学生先猜想后验证来学习运算律，需要利用类比的思想进行猜测，还要在猜测的基础上加以验证，有一定难度。）

六、教学过程设计 1、问题引入（约5分钟）

引例：有两条拖轮牵引一艘驳船，它们的牵引力分别是＝3000牛，＝2000牛，牵绳之间的夹角θ＝60°。如果只用一条拖轮来牵引，而产生的效果跟原来的相同，试求出这条拖轮的牵引力下的大小和方向。

在物理中，我们已知道，两个不在一条直线的共点力、是为邻边的平行四边形OACB的对角线与相加所得到的和。

与的合力是以所表示的力。这就是说，[设计说明] 引导学生利用物理中合力的概念，来解决这个实际问题,以现有的知识为出发培养学生的知识类比、迁移能力。

[学情预设] 把实际问题抽象为数学概念是学生的认知难点。

2、概念形成（约5分钟）

一般地，把以、为邻边的平行四边形OACB的对角线＋，叫做与两个向量的和，记作形法则进行。

。求两个不平行向量的和可按平行四边问题1：如何求两个平行向量的和向量？

问题2：任意一个向量与一个零向量的和是什么？

求两个向量的和的运算叫做向量的加法。

[设计说明] 补充说明两个向量和的概念，同时让学生体验分类的思想。

3、概念深化（约15分钟）

练习 根据图中所给向量画出向量

（1）；

（2）。

解法1：将两个向量起点重合，应用平行四边形法则画出两个向量的和向量。

解法2：将一个向量的起点与另一向量的终点重合，也可以画出两个向量的和向量。

[设计说明] 1、学生通过练习题（1）可加深对向量加法概念的理解。另外，可由此引出向量加法的三角形法则。2、通过对比的方式让学生了解向量的加法既可以按照平行四边形法则进行，也可以按照三角形法则进行。在向量加法运算中，通过向量的平移使两个向量首尾相接，可使用三角形法则。

引申 求个向量的和向量。

[设计说明] 求个向量的和向量时，让

学生进一步体会应用首尾相接的三角形法则的优越性。

[学情预设] 学生对从特殊到一般的理解较抽象。

结论：求量可应用多边形法则。

运算律的归纳 问题：向量的加法既然是一种运算，它应该具有哪些运算律？如何进行验证呢？

[设计说明] 引导学生类比实数加法的运算律，得出向量加法的运算律，培养学生的类比、迁移归纳能力。

4、应用举例（约10分钟）

个向量的和向（1）已知平面内有三个非零向量两两的夹角都是120°，求证：、＋、＋，

它们的模都相等，并且＝；（2）在平面内能否构

造三个非零向量、、，使型？

＋＋＝；（3）能否说出（2）的实际模[设计说明] 题（1）是基本的例题；题（2）是题（1）的拓展；题（3）能体现数学来源于实际又应用于实际的思想。

5、研究讨论（约5分钟） 已知有什么关系？

、是非零向量，则|＋|与||＋||[设计说明] 设置这一研讨题可以将本节课与上节课的知识联系起来，并进一步渗透分类的思想。

6、小结归纳：（约4分钟）

让学生自主回顾和归纳本节的内容。

[设计说明]1、向量加法的意义；2、理解实际问题数学化的思想，增强数学的应用意识；3、理解分类讨论等数学思想，培养类比、迁移等能力

[学情预设] 要求学生不仅对知识体系进行归纳，还要对本节课中所体现的数学思想方法及数学能力进行总结有一定的难度。

7、作业布置：（约1分钟） 练习册P.21的6、10、19。

[设计说明]1、巩固所学的内容。2、对所学内容的检测、反馈与及时补充不足。

七．教学反思

该节课效果反思：学生对于测评的前两个作图题，能够熟练地运用向量加法的两个运算法则，掌握的比较好，作图过程规范合理，个别同学在共线情况的处理上出现错误，没有注意用“三角形法则”进行作图。学生对于第3题，掌握很好，能够联系向量加法的运算律做题。

学生对于第4题，完全是字母的题，有些学生仍然依靠作图解决，在提示后才意识到运用“三角形法则”中的“首尾相连”，达到了教学目的。学生对于第5题，对照例题2做得很好，基本没有问题。

在本节课中我采用“探究----讨论”教学法。“探究----研讨”教学法是美国哈佛大学教育专家兰本达所倡导的。“探究----研讨”教学法把教学过程分为两个步骤：第一步骤是“探究”。我所设计的问题引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法，将有关材料有层次地提供给学生，让学生独立地支配它，进而探索，研究它。学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对向量加法的感性认识和形成各自对向量加法概念的了解。

第二步骤是“研讨”，即在探究的基础上，组织学生研讨自己在探究中的发现，通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对向量加法的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次

的科学概念。这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。”的研讨式学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。

向量的加法运算是向量的基本运算.为了正确认识理解向量加法的运算,案例首先回顾了的物理学中的位移、力的合成.在此基础上,使学生认识到:物理学中的矢量合成可抽象为数学中的向量加法运算,进而总结出向量加法的三角形法则,平行四边形法则,这样设计自然,流畅,全面.向量加法的运算律的教学,是引导学生通过类比方法发现的,并让学生自主探索,构造图形验证,这样不仅体现了学生的主体地位,同时还能培养学生学科的探究能力.例题与练习、"拓展延伸"的设计,有层次,有力度,深入浅出,能较好地培养学生的创新能力。

一节课究竟应该给学生留下什么？这是我们一直在思考的问题。如果，我们一味地、一相情愿地“灌输”，学生能学好了吗？辩证唯物主义认为：任何事物的发展变化，都是内外因相互作用的结果，外因是条件，内因是根据，外因通过内因而起作用。学生对教师所施与的影响，并不只是消极被动地接受，而是以能动的姿态去思考和抉择，主动积极地做出反应；他们可能采取完全肯定和接受的态度，也可能采取批判和扬弃的态度，还可以采取完全否定和鄙弃的态度。因此，一节课重要的是激发学生学习的兴趣。爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师”，如果在课堂中激起了学生的学习兴趣，那么教学就算成功了一半。这就需要我们在教学过程中多设计学生活动的时空，结合生活实际，挖掘课程资源，根据学生的具体情况，对教材进行加工，有创造地设计教学过程，这节课我以问题作为教学的出发点，让教学贴近学生。

本节课固然收获颇多，但我也看到了几个表情漠然的学生，这种不和谐让我感到心痛，新课程要求教学面向全体学生，但对于这些学生如何能使他们一起进步，值得我们思考，也是我面临的一个新课题。我想，随着学习方式的改变，有很多方法等待我们去探索。

总之，数学课堂教学应该是一个“以知识教学为基点，以能力培养为核心，以个情素养为肯綮”的三维结构。通过这节课教学我认识到理解和把握教材的重要性，同时我也真切体会到在教学过程中教师是组织者、合作者、引导者的含义。