习题2.3第二课时教案

高二（上）数学小专题研究 直线和双曲线的位置关系（一）

——

一道教材例题的变式探究

一、问题的提出

《数学选修2-1》P60例6 x2y21的右焦点F2，倾斜角为30的直如图，过双曲线36线交双曲线于A,B两点，求AB

（解答过程参见教材P60例6）

【评注】此题的意图在于培养学生用方程的思想解决曲线的交点问题，弦长问题，并由此推导出一般的弦长公式：①AB1k2x1x21k2率，x1,x2为直线与二次曲线交点的横坐标）

②AB1坐标）

二、问题的变式

变式探究1（弦的中点问题）

x1x224x1x2，（其中k为直线的斜11yy11222kky1y224y1y2（y1,y2为直线与二次曲线交点的纵x2y21的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A,B两点，

过双曲线36求线段AB的中点坐标及其垂直平分线的方程。

【评注】此问的意图在于探究直线被二次曲线截得的弦的中点坐标的一般求法：例如：

x2y21相交于不同的两点A,B，求线段AB的中点坐标以已知直线ykx3和双曲线36及AB的垂直平分线方程。

高二（上）数学小专题——一道教材例题的变式探究

第

1 页

共

3 页

【课堂练习】（教材P62B组第4题）

y21，过点P1,1能否作一条直线l，与双曲线相交于A,B两点，且点P是已知双曲线x22线段AB的中点？

变式探究2（面积问题）

x2y21相交于不同

如图，已知直线ykx3k0和双曲线36的两点A,B，把AOB的面积SAOB表示成k的函数fk。

【评注】此问的意图在于探究直线和二次曲线相交时，某些特征三角形的面积的一般求法。此题AOB的面积有两种常用求法：中，①SAOB的距离）②SAOBSAOF2SBOF2变式探究3（向量的转化问题）

1ABd（其中d为坐标原点到直线ykx321OF2y1y2（其中y1y2分别为点A,B的纵坐标）

2x2y21相交于不同的两点A,B，求证：OAOB0

已知直线ykx3和双曲线36【请同学们比较以下两种说法与此问的异同：①点O一定在以AB为直径的圆内；

②AOB90】

高二（上）数学小专题——一道教材例题的变式探究

第

2 页

共

3 页

【评注】此问的意图在于探究怎样将平面向量叙述的条件或结论转化为几何问题或坐标问题。

x2y21恒有两个不同的交点A,B，且

【课后思考】已知直线ykx2与双曲线333Ok,1，求的取值范围。【答案：k1,OAOB2（其中为坐标原点）】

33

x2y21右焦点的直线l与双曲线相交于不同的两点A,B，若

变式探究4. 已知过双曲线36F2A5F2B，求直线l的方程。

【评注】此问的意图在于探究直线和二次曲线相交时，共线线段的比值问题。这类问题的解题通法是：联立直线和二次曲线的方程，消去y（或者消去x），得到关于x（或y）的一元关键方22程：AxBxC0（或AyByC0），在A0且0的前提下，有韦达定理（即一元二次方程根与系数的关系）：x1x2BC,x1x2。再结合条件中共线线段的比值，例如：

AA，最后建立起三个方程：

FAFB转化为坐标之间的关系x1fx2（或者y1gy2）x1x2BACxx，解这个方程组，即可得到我们需要的值或者代数关系。

12Ax1fx2高二（上）数学小专题——一道教材例题的变式探究

第

3 页

共

3 页