3.1.3 导数的几何意义教案2

3．1.3

导数的几何意义

【教学目标】

1.

知识与技能：了解导数的的几何意义,函数yf(x)在一点处的的导数就是曲线

yf(x)在这点处的切线的斜率,了解导数与切线斜率的关系

2.

过程与方法：进一步增强对导数的理解,学会求导数.

3.

情感态度与价值观：让学生体会数形结合及“逼近”思想.和方法.

【教学重点】导数的几何意义及导数的求法.

【教学难点】导数概念的本质内涵. 【教学过程】

（一）预习课本P76～79，思考并完成以下问题

1.导数的几何意义是什么？

2.导函数的概念是什么？怎样求导函数？

4.

怎么求过一点的曲线的切线方程

（二）[新知初探]

1．导数的几何意义

(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．

(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即kfx0＋Δx－fx0＝li m

＝f′(x0)．

Δx→0Δx2．导函数的概念

(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．

fx＋Δx－fx(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝li m

. Δx→0Δx[点睛]

曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．

基础练习

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．(

) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(

)

(3)函数f(x)＝0没有导函数．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(

) A．不存在

B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直

D．与x轴斜交

答案：B 3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(

) A．4

B．－4

C．－2

D．2 答案：D 4．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．

答案：y轴

x轴

（三）典例分析

14例1、已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方33程．

[解]

将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，

∴切点P(2,4)．

14142＋Δx3＋－×23－3333Δyy′|x＝2＝li m

＝li m

Δx→0ΔxΔx→0Δx12＝li m

[4＋2·Δx＋(Δx)]＝4.

Δx→03∴k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，

即4x－y－4＝0.

1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤

2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤

(1)设切点(x0，f(x0))．

fx0＋Δx－fx0→0

(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝liΔxm. Δx(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．

(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k. (5)根据点斜式写出切线方程．

(6)将切线方程化为一般式．

[活学活用]

过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为(

) A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0

B．x－y－2＝0 C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0 D．x－y＋2＝0 解析：选A

显然点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上，

f1＋Δx－f1Δx→0若切点为(1，－1)，则由f′(1)＝lim

Δx1＋Δx3－21＋Δx－－1＝li m

Δx→0Δx2＝li m

[(Δx)＋3Δx＋1]＝1，

Δx→0∴切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，即x－y－2＝0. 若切点不是(1，－1)，设切点为(x0，y0)，

3y0＋1x30－2x0＋1x0－x0－x0－1则k＝＝＝

x0－1x0－1x0－12＝x0＋x0－1，

又由导数的几何意义知

fx0＋Δx－fx0k＝f′(x0)＝li m

Δx→0Δxx0＋Δx3－2x0＋Δx－x30－2x02＝li m

＝3x0－2，

Δx→0Δx22∴x0＋x0－1＝3x20－2，∴2x0－x0－1＝0，

1∵x0≠1，∴x0＝－. 25∴k＝x20＋x0－1＝－，

45∴切线方程为y－(－1)＝－(x－1)，

4即5x＋4y－1＝0，故选A. 例2、

已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．

(1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x－y－2＝0. (3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0. [解]

设切点坐标为(x0，y0)，则

2Δy＝2(x0＋Δx)＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，

0Δy∴＝4x0＋2Δx，

ΔxΔy当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0. Δx(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，

∴斜率为tan 45°＝1. 1即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，

419∴切点的坐标为4，8. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，

2

∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，

∴切点坐标为(1,3)．

(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

1－8＝－1，即k＝8，

则k·故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2,9)．

求切点坐标可以按以下步骤进行

(1)设出切点坐标；

(2)利用导数或斜率公式求出斜率；

(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；

(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．

[活学活用]

直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为___________，切点坐标为____________．

解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，

因为y′＝li m

Δx→0x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1

＝3x2－2x，

Δx12则y′|x＝x0＝3x0－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－，

32当x0＝1时，y0＝x30－x0＋1＝1，

又(x0，y0)在直线y＝x＋a上，

将x0＝1，y0＝1代入得a＝0与已知条件矛盾舍去．

12311当x0＝－时，y0＝－33－－32＋1＝，

32723233211则切点坐标为－3，

27，将－3，

27代入直线y＝x＋a中得a＝. 2723321答案：

－3，

27

27（四）、作业布置：课时跟踪检测（十四）