1.1.2 四种命题教学设计及教案分析

命题及其关系（教学设计）

上栗中学 陈远友

教学目标

知识与技能：了解命题，原命题、逆命题、否命题、逆否命题

的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会判断命题的真假；

过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力；

情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。

教学重点：

1、把命题写成若P则q的形式并判断真假；

2、会写四种命题并会判断命题的真假；

3、四种命题之间的相互关系．

教学难点：

1、把命题写成若P则q的形式并判断真假；

2、写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；

3、分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．

教学过程：

一、

情景引入

通过“趣味数学”抛出与本节课相关的问题---主人邀请张三、李四、王五三人吃饭。约定的时间到了，只有张三、李四准时赴约。王五打电话说，“临时有急事，不能来了。”。主人听了随口说：“你看看，该来的没有来。”张三听了，脸色一沉，起来不声不吭地走了，主人愣了一会，又说了句：

“哎，不该走的又走了。”李四听了大怒，拂袖而去。

问：能否从命题的角度解释二人离去的原因呢？

二、

新课讲授：

首先给出思考1：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？

（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点；（2）2+4=7；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若x2=1,则x=1；

（5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除．

得出的结论：语句都是陈述句，并且可以判断真假。对上述问题判断真假后引出命题概念：在数学中,我们把用

语言

、

符号

或

式子表达的，可以判断真假的陈述句

叫做命题.其中

判断为真

的语句叫做真命题，

判断为假

的语句叫做假命题.

例1：判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出它的真假.

(1) 空集是任何集合的子集.(2)若整数a是素数,则a是奇数.

(3)指数函数是增函数吗?

(4)若两条直线不相交,则这两条直线平行. (5) (2)22

(6) x>15.

说明：判断一个语句是不是命题，就是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 思考1：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？

（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点；

（2）2+4=7；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）若x2=1,则x=1；

（5）两个全等三角形的面积相等；

（6）3能被2整除．

与学生一起归纳：命题(1)(4),具有“若

--- , 则

---”

的形式，从而引出

命题的构成------条件与结论

定义：从构成来看，所有的命题都是由条件和结论两部分构成。在数学中，命题常写成“若p，则q” 这样的形式，通常，我们把这种形式命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题

的结论。

关于“若p，则q”形式的命题说明：

（1）

“若p，则q”命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。

（2）“若p，则q”形式的命题是命题的一种形式，而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” 或“只要p,就有q”等形式。其中p和q可以是命题也可以不是命题. “若p，则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别,缺点是太格式化且不灵活. 例2、

指出下列命题中的条件p和结论q：

1）、若整数a能被2整除，则a是偶数；

2）、菱形的对角线互相垂直且平分。

解：1) 条件p：整数a能被2整除，

结论q：整数a

是偶数。

2) 写成若p，则q

的形式：若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分.

条件p：四边形是菱形，

结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。

例3、将下列命题改写成“若p，则q”的形式,并判断真假：

（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；

（2）负数的立方是负数；

（3）对顶角相等. 解：（1）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行；

（2）若一个数是负数，则这个数的立方是负数；

（3）若两个角是对顶角，则这两个角相等.

思考2：下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。

引出四个命题的概念：

１、互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的逆命题。

２、互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题。如果其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的否命题。

３、互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题。如果其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题。

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用¬p和¬q分别表示p和q的否定.

原命题: 若

p ,

则

q .

逆命题:若

q ,

则

p

.

┐┐┐┐

否命题: 若

p ,

则

q .

逆否命题:若

q ,

则

p .

变式3.

把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：

（1）负数的平方是正数；（2）正方形的四条边相等；

（3）对顶角相等. 分析：关键是找出原命题的条件p与结论q. 解：（1）原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数. 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数. 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数. 逆否命题：若一个数的平方不是正数,则它不是负数. （2）正方形的四条边相等；

原命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.

逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等.

逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形.

（3）对顶角相等

原命题：若两个角是对顶角，则这两个角相等.

逆命题：若两个角相等,则这两个角是对顶角.

否命题：若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.

逆否命题：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角. 例4：设原命题是“当c>０时，若a>b,则ac>bc”，写出它的逆命题，否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假. 分析：

“当c>０时”是大前提,写其他命题时应该保留,原命题的条件是a>b ,结论是ac>bc .

解：逆命题:当c>０时，若ac>bc,则a>b .否命题:当c>０时,若a≤b,则ac≤bc .

逆否命题:当c>０时,若ac≤bc,则a≤b. 归纳总结

：一般地，一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下关系：

1．原命题为真，它的逆命题不一定为真

2．原命题为真，它的否命题不一定为真

3．原命题为真，它的逆否逆否命题一定为真

一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 【说明】由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题. 练习：

1．判断下列说法是否正确：

（1）一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真；

（2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。

分析（1）∵一个命题的逆命题为真，它的原命题不一

定为真，根据原命题与逆否命题具有等价性，它们同真

或同假。∴它的逆否命题不一定为真.即说法(1)正确. （2）

∵这个命题的否命题为真，根据逆命题与否命题

也是互为逆否命题，它们同真或同假。

∴它的逆命题一定为真.即说法(2)正确.

2．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分

别判断它们的真假：

（1）有三边对应相等的两个三角形全等；

（2）若a>b，则a+c>b+c ; （3）若xy=0，则x=0或y=0.

解（1）原命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等. 原命题为真。

逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对

应相等. 逆命题为真。

否命题:若两个三角形三边不对应相等，则这两个三角

形不全等. 否命题为真。

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三

边不对应相等. 逆否命题为真。

（2）若a>b，则a+c>b+c . 逆命题：若a+c>b+c，则

a>b. 逆命题为真. 否命题:

若a≤b

，则

a+c≤b+c . 否命题为真. 逆否命题：若a+c≤b+c ,则

a≤b . 逆否命题为真. （3）若xy=0，则x=0或y=0. 逆命题：若x=0或y=0，则xy=0. 逆命题为真. 若xy≠0，则x≠0且y≠0. 否命题为真.

逆否命否命题:题: 若x≠0且y≠0,则xy≠0. 逆否命题为真。

趣味数学答案解析：

该来的没有来——若某人是该来的，则这个人没有来。其逆否命题为：若某人来了，则这个人是不该来的。即来了不该来的。

不该走的又走了——若某人是不该走的，则这个人走了。其逆否命题为：若某人没有走，则这个人是该走的。即没有走的该走。

三、课堂小结，巩固反思

本节重点研究了命题的概念和表示形式以及四种命题的概念与表示形式，即如果原命题为：若p则q，则它的逆命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题；否命题为：若p则q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题；逆否命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，即得其逆否题；两个互为逆否的命题同真或同假；

四、布置作业：

课本P5习题

1，2，3以及全程设计相关练习。