1.2.1 充分条件与必要条件课堂实录

教学设计

课题：充分条件与必要条件

科目：数学

提供者：白金艳

一、教学内容分析

本节课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-1，第一章“常用逻辑用语”中的第二节“充分条件与必要条件”。本节课主要学习推断符号，能够利用推断符号简化命题表达形式。学习充分条件、必要条件的概念，以及判断充分条件、必要条件的方法。通过本节课的学习可以加深学生对条件、结论之间关系的理解，通过对充分条件、必要条件的思辨，指导学生学会从正反两方面思考问题，从而正确解决问题。充分条件、必要条件的应用贯穿高中学习的所有知识，所以非常重要。

二、教学目标

1、知识与技能：通过对推断符号的学习，简化命题表达形式。理解充分条件、必要条件的概念，加强学生的条件意识与化归意识，感受充分、必要条件的和谐统一。

2、过程与方法：通过实例理解充分条件、必要条件的意义，掌握充分条件、必要条件的判断方法及其简单应用。

3、情感态度与价值观：通过充分、必要条件的应用，培养学生思维的严谨性。通过对充分条件、必要条件的思辨，指导学生学会从正反两方面思考问题，培养学生的批判性思维。

三、学习者特征分析

通过日常的教学，结合学生的课上表现、作业情况、测验成绩，分析学生的特征如下：

1、知识与技能：所教学生是高中二年级理科学生，已经学习了高中必修1到必修5的所有内容，掌握了高中数学的大部分知识，有一定的知识基础。

2、过程与方法：布置学生提前做好预习，带着问题来开始新的学习。对于教师的提问和启发学生能够积极思考，学生课上能够积极发言与老师极配合。

3、情感态度与价值观：理科班的学生多数对数学学习有兴趣，能够主动的参与教学。解题有时不够严谨，思考问题不是很全面。

教学对象：高二年级学生

课时：1课时

单位：天津市实验中学

1

四、教学策略选择与设计

本节课设计的基本理念是通过创设情境启发学生积极思考、揭示概念的本质，通过小组讨论完成学案，使学生自主学习、巩固新知，利用辨析题突破教学的难点，完成教学目标。教学过程中体现了启发式教学以及小组讨论的模式。

五、教学重点及难点

教学重点：

1、理解充分条件、必要条件的概念；

2、掌握充分条件、必要条件的判断方法。

教学难点：

1、必要条件概念的理解；

2、应用充分条件、必要条件的概念对命题进行判断。

六、教学过程

教师活动

（一）创设情境，提出问题

教师：今天早晨上课有哪位同学迟到吗？

教师：大家出勤都很好。

教师：旁边那班有个同学早晨上课迟到了，他这样跟老师说：“因为我们家的闹表坏了，所以我迟到了。”你们说这个同学迟到的理由充分吗？

教师：我们经常说顽强的意志是一个人成功的必要条件。

同学们理解这句话的含义吗？

教师：引出课题“充分条件与必由生活中的实例引出课题。两个事例涉学生：一个人成功必须要有顽及了两个名词：充分强的意志。

学生：一个人没有顽强的意志就不可能成功。

条件和必要条件。这两个名词不仅在平时生活中会经常遇到，而且也是数学中两个重要的概念。但学生：理由充分。

学生：理由不充分。

引出生活中“充分”这个词语。

学生：没有。

学生活动

设计意图

创设情境吸引学生的注意力，开始引入新的问题。

2

要条件”

（二）揭示本质，理解概念

问题1.判断下列“若p，则q”形式命题的真假

（1）若x=1，则x²-4x+3=0；

（2）若ab=0，则a=0；

（3）若a>b，则ac>bc；

学生回答问题：

（1）真命题

（2）假命题

在数学中，对充分条件、必要条件有着更加清晰、更加严格和准确的定义。

为了学习充分条件和必要条件，我们需要对命题进行复习。

(问题由课件展示) （4）若两个三角形全等，则两个（3）假命题

三角形的面积相等；

（4）真命题

（5）若平面外一条直线与平面内（5）真命题

一条直线平行，则该直线与此平（6）假命题

面平行。

（6）若直线a与平面α内两条直线垂直，则直线a与平面α垂直。

问题2.用推断符号填空

若命题是真命题，说明由条件p可以推出结论q。引入一个简单的推断符号，表示条件p可以推出结论q，即“若p，则q”为真命题。“若p，则q”为假命题，

也可以用推断符号表示。 （1）x=1 x²-4x+3=0；

（2）ab=0 a=0；

（3）a>b ac>bc；

（4）两个三角形全等 两个三角形的面积相等

用推断符号表示条件与结论之间的关系非常简单，这里体现了数学的“简约美”(问题由课件展示)。

通过具体事例帮助我们研究“x=1”与“x²-4x+3=0”教师引导学生总结定义：

之间的关系。只要x=1成立，就能保证x²-4x+3=0成立，也就是说，要使x²-4x+3=0成立，有条“若p，则q”为真命题，称p学生理解充分条件是q的充分条件，q是p的必要和必要条件的定义。条件。

充分条件是“有它就件x=1成立就足够了，就充分了。“若p，则q”为假命题，称p行”，必要条件是“没

3

反过来：如果x²-4x+3不等于0，不是q的充分条件，q不是p它不行”。

那么x不等于1。也就是说

x²-4x+3=0对x=1来说是必要的。

的必要条件。

学生解决以下例题

例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

总结判断充分、必要条件的算法步骤：

①认清条件和结论，写成“若p，则q”的形式；

②判断命题的真假，写出推断符号；

（1）若x=y，则x²=y²；

(例题由课件展示，

（2）若x为无理数，则x²为无解题过程教师板书理数；

在黑板上)通过例题（3）若一个平面经过另一个平教师总结判断充分、面的垂线，则这两个平面相互必要条件的算法步垂直。

骤，帮助学生掌握充例2：下列“若p，则q”形式分条件、必要条件的③根据推断符号的方向，判断充的命题中，哪些命题中的q是p判断方法。

分、必要条件。

的必要条件？

(具体步骤由课件展

（1）设α、β是两个不同的平示)

面，l是一条直线，若l垂直α且α平行β，则l垂直β；

（2）若x>a²+b²，则x>2ab；

（3）若(x-a)(x-b)=0，则x=a。

（三）自主学习，巩固概念

1．通过学案进行题组练习。（见学案）

2．由学生根据所学知识写出命题，并研究条件与结论之间的关系。

（四）思考辨析，突破难点

思考辨析1：

学生判断并修改

通过对概念的辨析学生开动“智力快车”，以小组讨论的形式，与同学合作，共同完成学案中的相应内容。

通过练习巩固学习的新概念。

方法1、一条直线与平面内任意加深理解，突破难

4

以下结论是否正确：

直线垂直是该直线与此平面垂点。

一条直线与平面内无数条直线垂直的充分条件。

直是该直线与此平面垂直的充分方法2、一条直线与平面内两条条件。（ ）

相交直线垂直是该直线与此平怎样稍加修改，使它成为正确面垂直的充分条件。

的？

方法3、一条直线与平面内无数条直线垂直是该直线与此平面垂直的必要条件。

方法4、一条直线与平面内无数条直线垂直不是该直线与此平面垂直的充分条件。

思考辨析2：

在三角形ABC中，已知sin2A=sin2B，判断三角形ABC的形状？

解：在三角形ABC中，

因为sin2A=sin2B 所以2A=2B. A=B 所以三角形ABC为等腰三角形。

判断解法是否正确？

思考辨析3：

a、b是两个非零向量，a=(1,-2),b=(2,m),若a与b的夹教师引导学生进行分析： 解题错误的原因是对充分条件、必要条件没考虑全面，提醒教师引导学生进行分析： 2A=2B是sin2A=sin2B的充分条件但不是必要条件。

选择学生解题中易错的题目，带领学生共同发现问题、解决问题，加深对充分条件、必要条件的理解。(解题过程由课件展示) 角为锐角，求实数m的取值范围。

向量的数量积大于0是夹角为学生以后解题时要解：因为向量a与b的夹角为锐锐角的必要条件但不是充分条从正反两方面思考角，所以向量的数量积大于0。

因为a=(1,-2),b=(2,m) 所以2-2m>0,m<1 判断解法是否正确？

件。

问题，培养学生的批判性思维。(解题过程由课件展示)

5

1、掌握充分条件、必要条件的概念，学会用推断符号进行判（五）总结收获，回顾反思

教师引导学生总结本节课都学到了哪些知识？

在学生总结的基础上，教师进行归纳、提升。

断；

2、学会用算法思想判断充分、总结重点，回顾反思

必要条件；

(本节课重点由课件3、解题时注意充分、必要条件展示) 的使用，避免解题错误；

4、在逻辑推理过程中要注意思维的严谨性．

布置作业：

1．阅读作业：阅读课本Ｐ9-10．

2．书面作业：完成课本Ｐ10练习第1，2，3，4题. 3．探究作业：请写出使“ab不等于0”成立的充分条件？

七、教学评价设计

通过检查学生学案的完成情况由老师和小组其他成员对学生的学习情况进行评价。重点关注学生对知识的掌握以及学习的过程及其表现，如主动参与学习活动，提出问题和分析问题，与他人合作交流，有条理地表达自己的思考过程，尝试从不同角度思考问题等。

充分条件与必要条件（学案）

一．充分条件与必要条件的定义

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 二．对充分条件与必要条件的理解

题号

1

2 通过阅读课本回归教材，通过练习题巩学生课后完成。

固课上所学知识，通过探究作业提高能力。

p 用推断

符号填空

q 函数

f(x)=x²

a=0 f(x)在R上为增函数

ab=0 p是q q是p的

的

充分

必要条件

条件

q是p的

充分

条件

p是q的

必要条件

6

3 4

5

6

直线a、b没有交点

x<2

圆心到直线的距离等于半径

a>b

直线a、b是异面直线

x<1 直线为圆的切线

ac>bc

三．对充分条件与必要条件的巩固

回忆你学习过的数学知识，写出两个“若p，则q”形式的命题，并研究

p，q之间的关系。

命题1：

命题2：

p，q之间的关系： p，q之间的关系：

四．对充分条件与必要条件的思辨

（见黑板和屏幕，和老师互动）

八、板书设计

1.2.1充分条件与必要条件

一、推断符号

“若p，则q”为真命题，表示

“p推出q”，可以用推出符号。

“若p，则q”为假命题，表示

“p推不出q”，可以用推不出符号。

二、充分、必要条件

“若p，则q”为真命题，，称p是q的充分条件，q是p的必要条件。

例1：

解：

（1）p推出q，p是q的充分条件。

（2）p推不出q，p不是q的充分条件。（3）p推出q，p是q的充分条件。

例2：

解：

（1）p推出q，q是p的必要条件。

（2）p推出q，q是p的必要条件。

三、判断充分、必要条件的步骤

四、思考辨析

思考辨析1：

以下结论是否正确：

一条直线与平面内无数条直线垂直是该直线与此平面垂直的充分条件。（ ）

如何修改？

五、小结

（3）p推不出q，q不是p的必要条件。 六、作业

九．教学反思

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本节课的教学流程为：创设情境提出问题、揭示本质理解概念、自主学习巩固概念、思考辨析突破难点、总结收获回顾反思，共五个环节。教学中教师带领学生由浅入深、逐步地深入，理解概念的本质并应用所学知识解决问题。学生通过所学知识基本上可以正确判断充分、必要条件，教师比较满意，达到了预期的目标。学生在思考辨析环节表现的很好，辨析1中学生自己说出了4种修改方法，说明学生掌握了充分、必要条件的判断方法。辨析2、辨析3中，开始学生看到错误解法时觉得跟自己想的一样，认为是正确的，教师通过利用充分、必要条件的分析使学生豁然开朗，找到问题所在并能正确修改。学生学会从正反两方面思考问题，培养批判性思维，对学生今后在解决其他问题时有很大帮助。

不足之处：在学案的第三部分对充分条件与必要条件的巩固中，要求学生回忆学习过的数学知识，写出两个“若p，则q”形式的命题，并研究p，q之间的关系。这一环节学生写出的命题五花八门，涉及函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等等，课上只能个别学生发言，老师不能逐一落实到每个学生是不是完成的很好。以后教学可以修改为限定某部分知识，缩小学生举例的范围；或是改为小组讨论共同完成，由小组代表发言，这样教师就可以做到逐一落实、讲评了。

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