3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学实录与评析

3.2

导数的计算

[读教材·填要点]

1．基本初等函数的导数公式

函数

f(x)＝c f(x)＝xn(n∈Q*)

f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax

f(x)＝ex

f(x)＝logax f(x)＝ln x

2．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f′xgx－fxg′xfx(3)[]′＝(g(x)≠0)．

gx[gx]2(4)[cf(x)]′＝cf′(x)．

[小问题·大思维]

1．函数f(x)＝ln x与f(x)＝logax、f(x)＝ex与f(x)＝ax的导数公式之间各有什么内在联系？

提示：f(x)＝ln x的导数是函数f(x)＝logax的导数的特例；f(x)＝ex的导数是函数f(x)＝ax的导数的特例，即a＝e时，函数f(x)＝logax的导数就是f(x)＝ln x的导数，函数f(x)＝ax的导数就是f(x)＝ex的导数．

2．下列关系式成立吗？

(1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b为常数；

f′x1(2)[]′＝－(f(x)≠0)；

fx[fx]2导数

f′(x)＝0 f′(x)＝nxn1

－f′(x)＝cos x

f′(x)＝－sin x

f′(x)＝axln a(a＞0) f′(x)＝ex

1f′(x)＝(a＞0，且a≠1) xln a1f′(x)＝

x

(3)[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．

提示：由导数的运算法则知，这三个关系式都成立．

3．你能求出函数y＝tan x的导数吗？

sin x提示：∵y＝tan x＝，

cos xsin x′cos x－sin xcos x′sin x∴y′＝()′＝

cos xcos x2cos2x＋sin2x1＝＝2. 2cosxcosx

[研一题]

[例1]

求下列函数的导数．

1(1)y＝3x2＋xcos x；(2)y＝lg x－2；

xx－1(3)y＝；(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．

x＋1[自主解答]

(1)y′＝(3x2＋xcos x)′

＝(3x2)′＋(xcos x)′

＝6x＋cos x－x·sin x. 11(2)y′＝(lg x－2)′＝(lg x)′－(2)′

xx＝12＋3. xln 10xx－1(3)法一：y′＝()′

x＋1＝＝x－1′x＋1－x－1x＋1′

x＋12x＋1－x－12＝. 2x＋1x＋12x－1x＋1－2法二：∵y＝＝

x＋1x＋12＝1－. x＋122∴y′＝(1－)′＝(－)′

x＋1x＋1

2′x＋1－2x＋1′2＝－＝. 2x＋1x＋12(4)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6，

∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′

＝(x3＋6x2＋11x＋6)′

＝3x2＋12x＋11. [悟一法]

解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．

[通一类]

1．求下列函数的导数

(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；

23(2)y＝2＋3；

xxx5＋x＋sin x(3)y＝；

x2(4)y＝x2·log3x. 解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′＝5x4－9x2－10x；

2349－－－－(2)y′＝(2＋3)′＝(2x2＋3x3)′＝－4x3－9x4＝－3－4；

xxxx3sin x(3)∵y＝x3＋x－＋2，

2xsin x′x2－x2′sin x3∴y′＝(x)′＋(x－)′＋

2x43235xcos x－2xsin x＝3x－x－＋

22x4235－－＝3x2－x－＋x2cos x－2x3sin x. 221x(4)y′＝(x2·log3x)′＝(x2)′·log3x＋x2·(log3x)′＝2x·log3x＋x2·＝2x·log3x＋. xln 3ln 3

[研一题]

[例2]

求曲线y＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程．

[自主解答]

y′＝(x3－2x)′＝3x2－2，

∴y′|x＝1＝3×12－2＝1. 即在点(1，－1)处的切线的斜率是1. 由点斜式得切线方程为y＋1＝x－1即x－y－2＝0.

求过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．

解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x20－2，

2故切线方程为y－y0＝(3x0－2)(x－x0)，

2即y－(x30－2x0)＝(3x0－2)(x－x0)，

又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，

2得－1－(x30－2x0)＝(3x0－2)(1－x0)，

1解得x0＝1或x0＝－，

2故所求的切线方程为y＋1＝x－1 5或y＋1＝－(x－1)，

4即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. [悟一法]

求曲线的切线方程要注意区分以下两点：

(1)求曲线在点P处的切线方程，则P点在曲线上，一定为切点．

(2)求过点P与曲线相切的直线方程则P点不一定在曲线上，不一定为切点．

[通一类]

2．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，若直线l：y＝kx与曲线C相切于点(x0，y0)(x≠0)，求直线l的方程及切点坐标．

y0解：∵直线l过原点，则k＝(x≠0)，

x02由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝x30－3x0＋2x0，

y0∴＝x2－3x0＋2. x002∵y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3x0－6x0＋2. y0y02又k＝，∴3x2－6x＋2＝＝x－3x0＋2，

00x0x00整理得2x20－3x0＝0. 331∵x0≠0，∴x0＝，此时，y0＝－，k＝－，

284133因此直线l的方程为y＝－x，即x＋4y＝0，切点坐标为(，－). 428

[研一题]

[例3]

在抛物线y＝x2上求点P，使该点到直线x－y－2＝0的距离最短，并求出最短距离．

[自主解答]

依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，与抛物线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)．

∵y＝x2，∴y′＝2x，∵抛物线y＝x2的切线与直线x－y－2＝0平行的只有一条，且k111＝1，∴y′＝2x＝1，∴x＝，∴切点为2，4. 2该点到直线的距离为d＝1－1－224722＝8. 1172∴P(，)到直线x－y－2＝0的距离最短为. 248[悟一法]

利用导数的几何意义即切线的斜率建立方程是解决此类问题的关键．

[通一类]

3．以初速度10 m/s向上抛出一个物体，其上升的高度s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s＝10t－5t2(取重力加速度g＝10 m/s2)，求：

(1)物体被抛出t s后的速度；

(2)物体在t＝2 s时的速度．

解：(1)∵s＝10t－5t2，∴s′＝10－10t. ∴物体被抛出t s后的速度为10－10t. (2)∵s′＝10－10t，

∴s′|t＝2＝10－10×2＝－10. 即物体在t＝2 s时的速度为－10 m/s.

已知函数f(x)＝x，g(x)＝aln x，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．

[巧思]

利用交点坐标满足两个函数解析式得到x＝aln x，又在交点处切线相同得到a＝，联立方程求解．

2xx[妙解]

f′(x)＝a，g′(x)＝(x>0)，

x2x11

x＝aln x，e由已知得1解得a＝，x＝e2，

a2＝，x2x∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)．

1切线的斜率为k＝f′(e2)＝，

2e1∴切线的方程为y－e＝(x－e2)，

2e即x－2ey＋e2＝0.