3.4 生活中的优化问题举例教案（名师）

《生活中的优化问题》教学设计

一、教学目标

1．知识和技能目标

（1）使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；

（2）提高将实际问题转化为数学问题的能力．

2．过程和方法目标

（1）培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力；

3．情感态度和价值观目标

(1)进一步培养学生应用数学的意识。

二、教学重点.难点

教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤

教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值

三、学情分析

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

四、教学方法

师生互动探究式教学

五、教学过程

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

1

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

六、知识应用，深化理解

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

例：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（2）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

r3432yfr0.2r0.8r0.8r2,0r6

332令fr0.8(r2r)0

解得

r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）半径为2cm

时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．[来源:学科网]

（2）半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r3时，利润才为正值．

当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm

时，利润最小．

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【体验练习】

1.在边长为60cm的正

方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?

解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积V(x)=xh=(60x-x)/2(0

解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR

由V=πRh，得h令

s(R)223VV22V2，则S(R)= 2πR+ 2πR=+2πR

R2R2R2V+4πR=0 R2解得，R=3VV，从而h==R224VVV=3=23

V(3)22即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

3.如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所

围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这

个矩形的最大面积. 解:设B(x,0)(0

S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0

)0S(x)6x224x16.S(x

x(0,2),1x2

232x12233,x22233.2233S(x)max323.9(2,0)时,矩形的最大面积是因此当点B为 323.

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七、课堂小结

1.知识建构2.能力提高3.课堂体验

八、作业：课本P104 习题3.4 A组

1、3、5

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