复习参考题获奖说课稿

《常用逻辑用语》复习参考题

1．掌握常用词语的否定形式：

正面词语

否定形式

正面词语

否定形式

或（Ú）

且（Ù）

且（Ù）

或（Ú）

任意（"）

存在（$）非

存在（$）

任意（"）非

最多一个

至少两个

等于（=）

不等于（¹）

大于（＞）

不大于（＞

）

小于（＜）

不小于（＜

）

是

不是

都是

不都是

注意：①“任意”、“所有”属全称量词，它的否定是“存在一个……（违背结论）”；“存在”属特称量词，．．．．它的否定是“任意一个……（违背结论）”。

．．．．②若f(x)的定义域不为R，则“f(x)＞0”的否定不是“f(x)≤0”，依此类推。

．

牛

刀

小

试

1、（2007年宁夏卷）已知命题p："x?R，sinx≤1，则

（A）Øp：$x?R，sinx≥1

（C）Øp：$x?R，sinx＞1

2、（2009年天津卷）命题“存在xoÎR，2xo≤0”的否定是

（A）不存在xoÎR，2xo＞0

（C）对任意的xÎR，2x≤0

3、（2011年安徽卷）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是

．．（A）所有不能被2整除的数都是偶数

（C）存在一个不能被2整除的数是偶数

4、（2012年辽宁卷）已知命题p："x1、x2ÎR，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≥0，则Øp是

（A）$x1、x2ÎR，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0

（B）"x1、x2ÎR，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0

（C）$x1、x2ÎR，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)＜0

（D）"x1、x2ÎR，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)＜0

A,2xB，则

5、（2013年四川卷）设xÎZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集。若命题p:"x挝A,2xB

（B）?p:x舷A,2xB

（C）?p:x衔A,2xB

（D）?p:x蜗A,2xB

（A）?p:x蜗（B）Øp："x?R，sinx≥1

（D）Øp："x?R，sinx＞1

（B）存在xoÎR，2xo≥0

（D）对任意的xÎR，2x＞0

（B）所有能被2整除的数都不是偶数

（D）存在一个能被2整除的数不是偶数

- 1 -

2．四种命题及其关系：

原命题

若a则b 互

否

否命题

互

逆

互为

为互

逆否

逆否

互

逆

逆命题

若b则a

互

否

逆否命题

若Øb则Øa

若Øa则Øb

注意：①互为逆否关系的两个命题真假性相同，即原命题与逆否命题真值相同；否命题与逆命题真值相同。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②对于否定形式的命题不方便判定其真假性时，可以利用其逆否命题代替。

牛

刀

小

试

1、给出下列五个命题：①若a2¹1，则a¹1；②“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；③“四边相等的四边形是正方形”的否命题；④“梯形不是平行四边形”的逆否命题；⑤“若a＞b，则ac2＞bc2”的逆命题。其中的真命题是________________（填写所有符合要求的序号）。

2、（2007年重庆卷）命题“若x2＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是

（A）若x2≥1，则x≥1或x≤-1

（C）若x＞1或x＜-1，则x2＞1

rrrrrr3、（2011年陕西卷）设a、b是向量，命题“若a=-b，则|a|=|b|”的逆命题是

rrrrrrrr（A）若a?b，则|a|¹|b|

（B）若a=-b，则|a|¹|b|

rrrrrrrr（C）若|a|¹|b|，则a?b

（D）若|a|=|b|，则a=-b

（B）若-1＜x＜1，则x2＜1

（D）若x≥1或x≤-1，则x2≥1

4、（2011年山东卷）已知a、b、cÎR，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是

（A）若a+b+c?3，则a2+b2+c2＜3

（C）若a+b+c?3，则a2+b2+c2≥3

5、（2012年湖南卷）命题“若a=p，则tana=1”的逆否命题是

4（A）若a¹p，则tana¹1

（B）若a=p，则tana¹1

44（C）若tana¹1，则a¹p

（D）若tana¹1，则a=p

44

3．充分条件与必要条件：

（B）若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3

（D）若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3

aÞb：a是b成立的充分条件，又称b是a成立的必要条件；

- 2 -

a¿b：a是b成立的不充分条件，又称b是a成立的不必要条件。

（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）（ⅳ）aÞbüï；

ý：a是b的充分非必要条件（Øb是Øa的充分非必要条件）a¾bïïþa¿büï；

ý：a是b的必要非充分条件（Øb是Øa的必要非充分条件）aÜbïïþaÞbüï（Øb是Øa的充要条件）；

ý：a是b的充分且必要条件（简称：充要条件）aÜbïïþüa¿bï。

ý：a是b的非充分非必要条件（Øb是Øa的非充分非必要条件）a¾bïïþ注意：

（ⅰ）在考察一个具体命题“a是b”成立的什么条件时，一定要双向考察：①由a能否得b；②由b能否得a。

a1Þa2Þa3（ⅱ）对于循环递推关系，其中任意两个，如右图中的ai与aj(i¹j)，ai一定是aj

ÝßanÜLÜa4成立的充要条件。

．．．．（ⅲ）“条件”与“结论”是相对而言的，一旦改变，其关系就有可能发生变化。例如：a是b的充分非必要条件，也可以说b是a的必要非充分条件。

（ⅳ）对于否定形式的命题不方便考察条件与结论的关系，可以利用其逆否命题代替。

牛

刀

小

试

1、（2007年湖北卷）已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④Øp是Øs的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件。正确命题的序号是

（A）①④⑤

,2、（2010年湖北卷）记实数x1、x2、…、xn中的最大数为max{x1,x2Lmin{x1,x2L,x,n}，最小数为（B）①②④

（C）②③⑤

（D）②④⑤

()，定义它的倾斜度为x,n}。已知DABC的三边长为a、b、ca≤b≤cl=maxa,b,c?mina,b,c。则“l=1”是“DABC为等边三角形”的

bcabca（A）必要不充分条件

3、（2011年湖北卷）若实数a、且ab=0，则称a与b互补，记j(a,b)=a2+b2-a-b，b满足a≥0、b≥0，那么j(a,b)=0是a与b互补

（A）必要不充分条件

4、（2013年山东卷）给定两个命题p、q。若Øp是q的必要而不充分条件，则p是Øq的

（A）充分不必要条件

- 3 - {}{}（B）充分不必要条件

（C）充要条件

（D）非充分非必要条件

（B）充分不必要条件

（C）充要条件

（D）非充分非必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）非充分非必要条件

5、（2014年福建卷）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A、B两点，则“k=1”是“DOAB的面积为1”的

2（A）充分不必要条件

4．含有参数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a?0)实根的分布问题：

（ⅰ）方程的根只以零为界：直接利用韦达定理和判别式解答。

．．．ìïD=b2-4ac＞0ïïïb①方程有两个不相等的正根?ïíx1x2=-a＞0；

ïïïïx1x2=c＞0ïïaîìïD=b2-4ac＞0ïïïb②方程有两个不相等的负根?ïíx1x2=-a＜0；

ïïïïx1x2=c＞0ïïaî（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）非充分非必要条件

ìïD=b2-4ac＞0ï③方程有一个正根和一个负根圹ïíïxx=c＜0ïïî12aac＜0

（ⅱ）方程的根不只以零为界：利用二次函数图像的特征解答。

．．．．在解答的过程中，围绕二次函数图像的以下四个特征进行解释即可：①开口方向；②对称轴的分布；③判别式的符号；④边界处函数值的符号。

注意：重视两大特殊情形的解答技巧。

（ⅰ）当含有参数的一元二次方程的两根各在一个区间内变化时，只需考虑①开口方向、②边界处函数值．的符号

即可。

（ⅱ）当含有参数的一元二次方程在某区间[m,n]（或(m,n)或[m,n)或(m,n]）上有唯一实根时，可以先令f(x)=ax2+bx+c，然后分如下几种情况讨论：D=0（检验）；f(m)=0（检验）；f(n)=0（检验）；．．．．．．f(m)×f(n)＜0。

牛

刀

小

试

1、若关于x的方程mx2-x+m=0在闭区间[0,2]上有唯一实根，则实数m的取值范围是___________。

2、（2004年重庆卷）一元二次方程ax2+2x+1=0(a?0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是

（A）a＜0

3、（2011年重庆卷）设m、k为整数，方程mx2-kx+2=0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m+k的最小值为

（A）-8

- 4 - （B）a＞0

（C）a＜-1

（D）a＞1

（B）8

（C）12

（D）13

4、（2007年海南卷）设函数f(x)=ln(x+a)+x2。

（Ⅰ）若当x=-1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于lne。

2

5、（2009年全国卷Ⅰ）设函数f(x)=x3+3bx2+3cx的两个极值点是x1、x2，且x1?[1,0]，x2Î[1,2]。

（Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b,c)的区域；

（Ⅱ）证明：-10≤f(x2)≤-1。

2

5．反证法：

（ⅰ）基本思路：

①反设：假设结论不成立，即结论的反面成立；

②归谬：将结论的反面作为已知条件，再利用一部分（或全部）已知条件，通过正确的推理得出矛盾（与题设矛盾、与定理或公理矛盾、与常识矛盾、与前后结论矛盾）；

③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。

（ⅱ）适用题型：

①“多结论并存”的命题。

②结论本身以否定形式出现的命题。

．．．．③命题简单明了，但没有更多的公理、定理等依据帮助论证的命题。

④结论中含有“最多……”、“至少……”

等形式的命题。

⑤关于唯一性、存在性、有界性的一类命题。

⑥结论的反面比正面更具体、更容易理解、更容易研究的命题。

c21-2-1O-1-212b牛

刀

小

试

1、（2014年山东卷）用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是

（A）方程x2+ax+b=0没有实根

（C）方程x2+ax+b=0至多有两个实根

bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0c是互不相等的非零实数，2、设a、试证：三个方程ax2+2bx+c=0，b、（B）方程x2+ax+b=0至多有一个实根

（D）方程x2+ax+b=0恰好有两个实根

中至少有一个方程有两个相异实根。

- 5 -

3、设f(x)=x2+bx+c，若函数y=f(x)在区间[-1,1]上的最大值是M，求证：M≥1。

2

4、（2013年陕西卷）设{an}是公比为q的等比数列。

（Ⅰ）推导{an}的前n项和公式Sn；

（Ⅱ）设q¹1，证明数列{an+1}不是等比数列。

6．补集法：

如果一个问题的正面比较复杂而反面比较简单，就可以先研究其反面，最后求其补集。其理论依据是：痧U(UA)=A。

牛

刀

小

试

1、（2011年江苏卷）设集合A=(x,y)|m≤(x-2)2+y2≤m2,x挝R,yR，B={(x,y)|2m≤x+y≤2m

2+1,x挝R,yR}，若A枪B?，则实数m的取值范围是________________。

2、已知集合A={x?R|x2(a2+a+1)x+a(a2+1)＞0}，B={x?R|x26x+8≤0}，且A枪B?，求实数a的取值范围。

3、已知下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。

4、若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)＞0，求实数p的取值范围。

{}- 6 -