1.2.2 充要条件优质课一等奖

高中数学集合逻辑用语

充要条件教学案例

梁

立

芝

定州市李亲顾中学

充分条件与必要条件

一、教学内容分析

“充分条件与必要条件”是高中人教A版《数学》选修2-1第一章常用逻辑用语第二节的内容．本节内容的教学至少需要两个课时，而本节课是这一节内容的第一课时．

在选修中学习逻辑用语，可以结合逻辑用语的使用对我们已经学习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习．这使得逻辑用语的教学起到了承上启下的作用．

二、学生学习情况分析

我校是省示范性高级中学，有优越的多媒体设备，学生的数学基础较好，有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察、推理、类比等能力．并且通过对必修部分的学习，学生已经有了一定的知识储备，所以在本节课中出现的大量的数学问题，学生是易于理解和掌握的．而“充分条件与必要条件”的概念是学生不易理解的，容易停留在形式上，需通过丰富的简单例子帮助学生更好地理解概念的实质．

三、设计思想

1．体现了“教师为主导，学生为主体”的教学理念

本节课的教学设计和实际教学中，教师本人更多的是站在一个引路人的角度，告诉学生该向哪里走，怎么走，让他们自己去走．如：在例题的教学中，我大多是先带领学生分析问题，探求解决问题的方法，在学生通过自己的努力尝试解答之后，我再进行总结，避免了“满堂灌”．

2．注重对学生的思维训练

引导学生多角度的审视问题，从不同角度去看问题，分析问题，思考问题，从而可以使得对一个具体问题理解的更准确、更全面、更深刻．例如：在概念教学中，为了更好的理解概念，我通过具体问题引导学生从表达形式（符号表示与文字表示）、通俗语言的描述（有它就行和缺它不行）来辅助概念教学．

3．创设生活化情境，激发学习兴趣

本节课创设丰富的生活化情境，引导学生从已有的生活经验出发，亲自经历将生活

原形抽象为数学模型．让学生体验数学源于生活，又广泛应用于生活．这种生活形成的数学，缩短了数学与生活的距离，培养了学生学习数学的兴趣，这样的教学，学生就会学得主动、积极，善于发现、探索和创新．

四、教学目标

1．知识与技能

（1）使学生理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；

（2）初步掌握充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，既不充分也不必要条件的判断方法．

2．过程与方法

（1）通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；

（2）通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力．

3．情感态度与价值观

（1）通过日常生活情境的创设，让学生感受“生活中的逻辑”，增加学生对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲；

（2）通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，体验获取知识的感受．

五、教学重点与难点

教学重点：充分条件、必要条件和充要条件的概念及判断方法．

教学难点：必要条件的概念的理解．

六、教学过程设计

1．复习引入

把下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断它们的真假：

（1）全等三角形的面积相等；

（2）素数一定是奇数．

“若p，则q”为真，可以将它表示为

pq；

“若p，则q”为假，可以将它表示为

pq．

【设计意图】通过命题概念的复习，重点强调条件与结论，为新课学习做必要的准备和铺垫和自然的过渡．

2．新知构建

定义：一般地，如果有pq，称p是q的充分条件，称q是p的必要条件．

强调说明：

（1）

“pq”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示．

（2）

充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行”，

即“有之必然”；

必要条件的含义用通俗的语言来说是指“缺它不行”，

即“无之必不然”．

如：① 全班都准时到校



班长没有迟到

“全班都准时到校”是“班长没有迟到”的充分条件；

“班长没有迟到”是“全班都准时到校”的必要条件．

② 同学甲是K二15班的学生



同学甲是高二学生

“同学甲是K二15班的学生”是“同学甲是高二学生”的充分条件；

“同学甲是高二学生”是“同学甲是K二15班的学生”的必要条件．

【设计意图】创设丰富的生活情境，提升学生的认识水平，试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”．

例1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）

若a5是无理数

，则a是无理数；

2（2）

若x10，则x1；

22（3）

若xy，则xy．

（教师引导学生体验：问题的实质是判断命题是否为真）

解：命题（1）、（3）都是真命题．所以，命题（1）、（3）中的p是q的充分条件．

问：

以上哪些命题中的p是q的必要条件？

解：命题（1）、（2）的逆命题都是真命题．所以，命题（1）、（2）中的p是q的必要条件．

【设计意图】通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程.

3．巩固新知

例2．用“充分条件”或“必要条件”填空：

（1）

四边形的对角线相等是四边形为矩形的___________；

（2）

a5的__________是a为正数．

答案：

（1）必要条件；

（2）必要条件．

课堂练习1．判断下列问题中，（1）p是q的充分条件吗？

（2）p是q的必要条件吗？

①

p:ab

q:acbc；

②

p:x2

q:x3；

③

p:xa2b2

q:x2ab；

④

p: 圆心到直线l的距离等于半径

q: 直线l是圆的切线．

解：（1）因为在问题③、④中都有pq．所以，在问题③、④中，p是q的充分条件．

在①、②两个问题中pq，p与q的关系可称p不是q的充分条件，或称p是q的不充分条件．

（2）因为在问题②、④中都有qp．所以，在问题②、④中，p是q的必要条件．

在①、③两个问题中qp，p与q的关系可称p不是q的必要条件，或称p是q的不必要条件．

【设计意图】概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念．并让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下一环节的学习做必要的准备和铺垫．

4．新知完善

从课堂练习1中我们可以发现在p与q之间存在以下几种关系：

（1）

pq且qp

→ ④

（2）

pq且qp

→ ③

（3）

pq且qp

→ ②

（4）

pq且qp

→ ①

对于这几种关系我们应如何描述呢？

充分条件、必要条件的可能情况有：

若有pq且qp，称p是q的充要条件；

若有pq且qp，称p是q的充分不必要条件；

若有pq且qp，称p是q的必要不充分条件；

若有pq且qp，称p是q的既不充分也不必要条件．

课堂练习2．请用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、

“既不充分也不必要”填空：

（1）“(x2)(x3)0”是“x2”的

条件；

（2）“同位角相等”是“两直线平行”的

条件；

2

（3）

“x9”的

条件是“x3”；

（4）“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的

条件．

【设计意图】通过课堂练习1的自然过渡，将新知（充要关系）完善，使学生明白，充要关系的四种类型就是同时判断p是否为q充分条件及p是否为q必要条件，并通过课堂练习2的训练转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程．

5．能力提升

例3．

填空（写出一个满足题意的即可）

“x3”的一个必要条件是

．

答案：可填：x4

（形如xa，其中a3都可以）．

例3变式．

（1）“x3”的一个充分条件是

；

（2）“x3”的一个充分不必要条件是

；

（3）“x9”

是

的一个充分不必要条件；

（4）已知“x3”是“xa”一个必要不充分条件，求a的取值范围．

【设计意图】

从条件判断填空到开放的填写条件及含参问题的思考有助于彰显学生对问题的理解程度，通过这组练习，可以了解学生“会了什么？”、“还存在什么问题？”，使后面的教学更有针对性！

6．课堂小结

师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：

（1）

充分条件与必要条件的概念；

（2）

充分条件与必要条件的四种类型；

（3）

充分条件与充分不必要条件的区别，必要条件与必要不充分条件的区别；

（4）

充分条件与必要条件判断的关键．

2

【设计意图】再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点．

7．作业布置

（1）

选修2-1同步作业（2）．

（2）

探讨下列生活俗语的充要关系：

①

多行不义必自毙；

②

成人不自在，自在不成人；

③

只要功夫深，铁杵磨成绣花针；

④

人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人．

七、教学反思

“充分条件与必要条件”作为高中数学传统的重点内容，难点内容．我通过本节课的教学，创设丰富的生活情境让学生准确地理解这一概念，能简单的运用这一知识．并通过较为愉悦的课堂环境，使学生保持浓厚的学习兴趣，不产生畏难情绪．课后，我根据本节课实际教学过程中出现的问题，在第二课时的教学中作出调整和弥补，并在第二课时中，加强对学生运用知识解决问题环节的训练．

利用“充分条件与必要条件”解决问题是学生难于掌握的，这也不是本节课可以彻底解决的问题．所以，我引导学生通过解决简单问题（例1），提炼出解决问题的方法，再尝试运用方法解决新问题(例2、课堂练习1、课堂练习2)．首先让学生掌握解决问题的方法，再加以运用，这样我也可以搞清学生“会了什么”、“还有什么不会”，使后面的教学更有针对性．

例3的教学是存在困难的，问题的难度主要在于问题本身是一个开放式的填空题．所以，我先让学生通过观察对比几个例题的问法，找出问题问法的变化，然后使用已经总结出的方法，尝试解决这一问题．并通过例3变式使一些数学水平较高的学生对知识的理解得到了升华．

但仍有一些值得再探讨的问题，如例3及其变式的编排本身值得商讨．因为逻辑用语的教学本身就具有一定的难度，故而不可使用过于复杂的数学例题，否则会使得教学难上加难，不利于本节新概念的教学．而例3及例３变式由于问题本身存在的难度，使得对于一些中下的学生由于新知识还没有完全吸收，问题难度的上升导致思维有点混乱，因此未能很好的理解．在以后的教学中可以考虑把例3及例３变式的教学放到第二课时．