1.2.1 充要条件教案及板书设计

《充分条件与必要条件》第一课时教学设计

宁夏银川市第六中学

张立锋

一、教材分析

（1）教材内容及地位与作用：充要条件是高中学数学人教A版选修2-1第一章第二单元内容，其是中学数学最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，是学生解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础，是今后的数学学习特别是数学推理的基础。本节内容是高考中重要的考查内容。在“充要条件”这节内容前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫，特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学数学教材，安排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，为学生学习充要条件打下基础，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。显然，新教材的这种处理，充分说明充要条件这一内容在整个高中数学体系中的基础性和重要性，新教学大纲把教学目标定位在“初步掌握充要条件的意义”，更进一步的掌握还需要在后续的学习中强化巩固。

（2）重点、难点：从教材的编写角度看，新旧教材最大的差异在于对“充分条件”和“必要条件”定义的处理上，旧教材中“充分条件”和“必要条件”是以如下方式分别定义的，“一般地，如果A成立，那么B成立，即AB，这时，我们就说条件A是B成立的充分条件，也就是说，为使B成立，具备条件A就足够了”。“一般地，如果B成立，那么A成立，即BA，或者，如果A不成立，那么B就不成立，这时我们就说，条件A是B成立的必要条件。也就是说，要使B成立，就必须A成立。”与旧教材大段枯燥难懂的表述相比，新教材的定义显得更简洁精炼，显然，新教材的编写者在数学概念的处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观，因此淡化了对定义的纯文字叙述，而更注重学生从感性上去领悟，让学生在解题实践中加深理解。当然，一次性给出定义也存在一定的不足，学生在判断条件与结论的逻辑关系之前，还必须先分清何者是条件，何者是结论，这增加了学生理解上的困难。因此把重点、难点定义为：

教学重点：正确理解并阐明三个概念；

教学难点：对“必要条件”的理解。

二、教学目标

从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难。因此，新教材在这一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”，这是比较切合教学实际的。由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一次到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。因此把教学目标定位为：

（1）知识目标：正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；

（2）能力目标：掌握判断条件的充分性、必要性和充要性的方法；在师生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础；

（3）感情目标：通过对一些日常用语讨论，激发学生热爱生活，奋发图强。

三、教学方法

（1）教法：采用“过程教学法”，让学生参与和经历整堂课的思维过程。

（2）学法：采用“导学法”，学生在老师的引导下，积极参与，积极思考，发现规律，

归纳总结规律。

四、教学过程

1、创境激趣，引入新课

1.1学生活动一：下列各式中的p和q有什么特点？

（1）p：小明是南京人

q：小明是中国人；

（2）p：x5

q：x0；

（3）p：ABA

q：AB

学生在师生的共同交流下，得出答案：只要有条件p就一定能“充分”保证q成立，即pq. 1.2学生活动二：判断下列命题是真命题还是假命题？

（1）若xa2b2，则x2ab. （2）若ab0，则a0. （3）有两角相等的三角形是等腰三角形. （4）若a2b2，则ab. 答案：（1）、（3）为真命题，（2）、（4）为假命题.在此基础上进一步引导学生向着这一叙述方式看齐：只要有条件p就一定能“充分”保证q成立，这时称p是q成立的充分条件。

2、新课讲授，理解定义

2.1真假命题的符号记法：

在数学上对命题真假的有如下符号记法：

（1）如果命题“若p则q”为真，也就是说如果p成立，那么经过一系列的推理一定能推出q成立，则记作pq，念作p推出q。

（2）如果命题“若p则q”为真，同时又“若q则p”也为真，也就是说如果p成立，那么经过一系列的推理一定能推出q成立，同时如果q成立，那么经过一系列的推理一定能推出p成立，则记作pq，念作p等价于q。

2.2如果命题“若p则q”为真，则记作pq（或qp），

给出定义：（1）如果pq，则说p是q的充分条件（或说q的充分条件是p），q是p的必要条件（或说p的必要条件是q）。

学生思考：若qp，p是q的什么条件？让学生进一步辨析定义的说词和逻辑思维的关系。

（2）如果命题“若p则q”为假，则qp，此时则说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。

2.3充分、必要、充要条件的定义

（1）如果已知pq，则说p是q的充分条件，同时说q是p的必要条件。

可以这样理解：只要有条件p就能足够充分地推出结论p；或者说为使结论q成立，具备条件p就足够了，所以说条件p是q的充分条件。同时地有四种命题的关系有已知pq即qp，也就是说没有条件q就没有结论p，或者说条件q不成立，那么结论p就一定不成立。因此说是调价q是结论p成立所必需具备的。这里同学们要注意打破“条件”与“结论”的“位置”不变的观念。在原命题中p是条件，q是结论，在逆命题中q是条件，p是结论，在否命题中p是条件，q是结论，而在逆否命题中恰恰相反。

在定义（1）中仅说已知pq，但pq是否成立呢？对此有如下的定义，

（2）如果已知pq且qp，即pq，则p是q的充分条件，同时p也是q的必要条件，即p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件。当然地q也是p的充要条件，即p、q互为充要条件。类似地还有如下定义：

（3）如果已知pq且qp，则说p是q的充分而不必要条件；q是p的必要而不充

分条件。

（4）如果已知pq且qp，则说p是q的必要而不充分条件；q是p的充分而不必要条件。

（5）如果已知pq且qp，则说p、q互为既不充分也不必要条件。

有这些定义可知：判别充分、必要、充要条件的步骤是：首先认清条件和结论；其次考察pq和qp的真假，其中要注意两点判别技巧：简化命题和否定一个命题只要举出一个反例即可。

3、讲解例题，熟能生巧

3.1出示例1：下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x1，则x24x30；

（2）若fxx，则fx在,上为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数。

学生讨论交流，师生共议得出结果：（1）、（2）中的p是q的充分条件，（3）不是。

3.2出示例2：下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

（1）若xy，则x2y2；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

（3）若ab，则acbc。

学生讨论交流，师生共议得出结果：（1）、（2）中的q是p的必要条件，（3）不是。

3.3出示例3：

（1）“a0,bo”是“ab0”的什么条件？

（2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形是菱形”的什么条件？

（3）在ABC中，BCAC是AB的什么条件？

（4）“a2b2”是“ab”的什么条件？

引导学生找出p和q，得出答案：

（1）充分不必要条件；（2）必要不充分条件；（3）充要条件；（4）既不充分也不必要条件。

小结：解决此类条件判断题的步骤是：找出p、q判断pq与qp的真假根据定义下结论。

4、随堂练习，应知应会

4.1P10练习

4.2判断下列命题中前者是后者的什么条件？

（1）若ab,cd，则acbd；

（2）若acbc，则ab；

（3）若a2b2，则ab。

答案：（1）充分不必要条件；（2）必要不充分条件；（3）既不充分也不必要条件。

5、小结作业，步步为营

以问题的形式，拓展学生的思维模式，问题如下：

（1）这节课你都学习了哪些知识？

三个定义、判断步骤及判别技巧。

（2）哪些你掌握的比较好呢？不好的地方怎么改进？

（3）你还想知道相关的什么方面的知识？

以问题串的形式总结，打破常规的同时还把学生的思考引向一个高度，激发了学生的学

习兴趣。

作业：（1）P12 习题1.2 A组2、3题

（选做4题来做）；

（2）举一些生活中的例子，说明充分、必要、充要条件。