6.4 反三角函数教学设计(第一课时)

6.4反三角函数（1）——反正弦函数

上海市晋元高级中学

谢飞

一、教学目标

1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx，

x∈[-，]有反22函数；

2. 理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-，]. 223．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 4．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 二、教学重点：反正弦函数的概念；

三、教学难点：理解反正弦函数

四、教学过程

1．复习

我们学习过反函数，知道，对于函数yf(x),xD，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使yf(x)，这样得到的x关于y的函数叫做yf(x)的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的.

2．思考

那么正弦函数yf(x),xD是否存在反函数呢？

3．讨论

正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得ysinx在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得ysinx存在反函数呢？

这个区间的选择依据两个原则：

（1）ysinx在所取区间上存在反函数；

（2）能取到ysinx的一切函数值1,1. 可以选取闭区间,，使得ysinx在该区间上存在反函数，而这个反22函数就是今天要学习的反正弦函数.

二、学习新课

1．概念辨析

（1）反正弦函数的定义：

函数y=sinx，

x∈[-，22]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1]. （2）反正弦函数的性质：

①图像

yy=arcsinxy=x2

1y=sinx

o1x

2

②定义域[-1，1]

③值域[-，] ④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]

⑤单调性：增函数

[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线yx对称，函数y=sinx，x∈[-，]与函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像关于直线yx对称.

2．例题分析

例1．求下列反正弦函数的值：

（1）arcsin；（2）arcsin0；（3）arcsin（-6121222223）

212解：（1）因为sin=，且∈[-，]，所以arcsin=. （2）因为sin0=0，且0∈[-，]，所以arcsin0=0. （3）因为sin（-）=-（-3）=-. 3233，且-∈[-，]，所以arcsin3222622622例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：

（1）sinx=2，x∈[-，]；

22315（2）sinx=-，x∈[-，]；

22

（3）sinx=-3

，x∈[-π，0]. 3解：（1）因为x∈[-，]，由定义，可知x=arcsin22222；

315 （2）因为x∈[-，]，由定义，可知x=arcsin（-）=- arcsin；

（3）在区间[-，0] 上，由定义，可知x=arcsin（-arcsin3；

31523）=- 3 在区间[-π，-]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin满足 sinx=-333.因此x= arcsin或x=-π+arcsin. 33323，3例3．化简下列各式：

（1）arcsin（sin）；（2）arcsin（sin72274）；*（3）arcsin（sin20070）

5解：（1）因为∈[-，]，设sin=α，所以arcsinα=，即arcsin（sin）=. 44[-，]，而∈[-，]，且sin=sin，设5522522544sin=sin=α，所以arcsin（sin）= arcsin（sin）= 55557777（2）因为arcsinα=. （3）因为sin20070=sin（5×3600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270

5

所以arcsin（sin20070）= arcsin（-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270. 例4．求函数f（x）=2arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域. 解：设y=2arcsin2x，则= arcsin2x，

因为2x∈[-1，1]，arcsin2x∈[-，]，所以x∈[-，]，y∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin，x= sin，将x，y互换，得反函数f-1（x）= sin，定义域是[-л，л]，值域是[-，1]. 212x212y2221212y212y2

三、巩固练习

判断下列各式是否成立?简述理由. 33=；（2）arcsin=；（3）arcsin1=2kл+，32232k∈Z；（4）arcsin（-）=- arcsin；（5）sin（arcsin2）=2；331（6）arcsin=. 62（1）arcsin解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-，]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符. 四、课堂小结

教师引导学生总结：

（1）反正弦函数的定义；

（2）反正弦函数的性质.

22五、作业布置

（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4 （2）思考题：求函数f（x）=2π-arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域. 七、教学设计说明

1．关于教学内容

反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用. 2．关于教学方法

为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质.