3.1.3 空间向量基本定理特级教师教学实录

第2课时

教学目标

空间向量的基本定理(理科)教案

理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；理解空间任意一个向量可以知识与技能

过程与方法

用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。

经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

情感、态度经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，培养学生的探索精神。

与价值观

重点：共线、共面定理及其应用;空间向量的基本定理及其推论

教学重点、难点

难点：空间向量分解定理唯一性的理解

根据本节课的特点，尝试运用“问题探究式”教学法，遵循“探索—研究—运用”即“观察教学方法

—思维—迁移”的三个层次要素，教师“诱”在点上，学生动脑思，动手探。

教学内容

（重点内容、学情分析、教法设计、学法指导、分类推进措施）

一、复习回顾：（大约5分钟）

1．共线（平行）向量的定义：

2．空间任意两个向量a,b(b0),a//b的条件: 3．平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a ； （教师提问，学生回答，教师强调限制条件）

二、共线向量定理：（大约3分钟）

对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是 （学生类比平面向量共线的条件类比得出，师生共同分析限制条件）

三、共面向量定理（大约17分钟）

1．向量与平面平行：（大约5分钟）

已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

a

a



说明：空间任意的两向量都是共面的．

共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

（教师强调共面向量的意义，学生深化理解） 思考与讨论1：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．

思考与讨论2：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？

（教师提问，从而引出共面向量基本定理）

2．共面向量定理：（大约12分钟）

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb．

思考与讨论：P85：练习A1、2、3、4 （通过对练习题的讨论让学生对共线向量及共面向量定理进一步深化理解。）

例1 已知斜三棱柱ABCABC，设ABa，ACb，AA'c。在面cA'B'C''''M对角线AC上和棱BC上分别取点M和N，使AMkAC',BNkBCA'baNBC（0k1）。求证MN与向量a和c共面。

分析：本题主要利用共面向量定理来证明向量与向量的共面问题。只要将MN用a和c的线性表示就可证明共面。

四、空间向量分解定理（大约18分钟）

D'例2已知平行六面体ABCDABCD,设ABa,ADb,AAc,

''''试用基底{a,b,c}表示如下向量：AC,BD,CA,DB

c'''''A'B'C'（大约5分钟）

ADbaBC分析：本题主要是利用向量的加法运算，由本例题引出空间向量基本定理。

学生先自主做，教师引导点出空间内的任意向量都可用三个不共面的向量表示，从而引出空间向量基本定理。

空间向量分解定理（大约8分钟）：

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组(x,y,z)，使pxaybzc

证明：（存在性）设a,b,c不共面，

过点O作OAa,OBb,OCc,OPp

过点P作直线PP平行于OC，交平面OAB于点P；

在平面OAB内，过点P作直线PA//OB,PB//OA，分别与直线OA,OB相交于点A,B，于是，存在三个实数x,y,z，使

AA'C'CPBP'B'OOA/OAxa,OB/OByb,OC/OCzc

∴OPOAOBOCxOAyOBzOC，所以

pxaybzc

（教师精讲存在性的证明，主要让学生理解如何对空间向量的分解，如何作平行线。）

（唯一性）假设还存在x,y,z使px/e1y/e2z/e3

∴xe1ye2ze3x/e1y/e2z/e3

∴(xx/)e1(yy/)e2(zz/)e30

yy/zz/e2e3

不妨设xx即xx0 ∴e1xx/xx/∴e1,e2,e3共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一

综上两方面，原命题成立

（唯一性让学生了解，不要求掌握证明）

由此定理，

若三向量a,b,c不共面，那么空间的任一向量都可由a,b,c线性表示，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量。

注：①空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底；

②空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．

M,N分别是对边OA,BC的中点， 例3 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB,AC，点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量OG（大约5分钟）

解：OGOMMG

O2OMMN312OA(ONOM)231211OA[(OBOC)OA] 2322111OA(OBOC)OA233111OAOBOC633

∴OGMCAGNB111OAOBOC

633分析：本题是对空间向量基本定理的应用。

五、总结反思：（大约2分钟）

学生从知识、题型与方法、数学思想三个方面总结，然后同桌交流各自的看法，最后教师找一名学生回答，其他学生进行补充，教师适当引导。

1．知识：共线向量定理和共面向量定理；

2．题型与方法：

3．数学思想方法：类比,数形结合,等价转化

4．注意问题：

六、达标检测（大约5分钟）

学生自主完成，订正答案，教师强调注意事项。

1．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y的值。 2．已知ai2jk,bi3j2k,c3i7j，证明这三向量共面。

七、布置作业

必做题：

1．已知三个向量a,b,c不共面，并且pabc，q2a3b5c

r7a18b22c，向量p,q,r是否共面？ 2．课本85页A5；

3．课本85页B3 选做题：

1．（选做）对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OPxOAyOBzOC

（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

2．（选做）已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．

。

122OAOBOC，

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