2.2.1 椭圆的标准方程名师教学视频（文字实录）

2.2.1

椭圆的标准方程

一、教学目标：

1．理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。

2．让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题。

3．情感态度与价值观：通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度。

二、重点与难点：

重点：椭圆的标准方程

难点：椭圆标准方程的推导

三、

问题情景：

生活中存在着大量的椭圆，比如：餐桌

问题1：汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状是椭圆，怎样设计才能精确地制造它们？

问题2：把一个圆压扁了，像一个椭圆，它究竟是不是椭圆？

问题3：电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质制造的.怎样才能准确地制造它们？

借助于椭圆的方程，我们可以回答上述问题。那么，

怎样建立椭圆的方程？

如何根据方程研究椭圆的性质？

四、

建构数学

回顾求圆的标准方程的基本步骤:建坐标系、设点、找等量关系、代入、化简。

如何建立适当的坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单。

(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1、F2 的距离的和为2a

（2a>2c）

①建立适当的直角坐标系：

以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系. ②设点：设P(x,y)是椭圆上的任意一点，∵F1F22c，∴F1(c,0)，F2(c,0)；

③根据条件PF1PF22a得(xc)2y2(xc)2y22a

④化简：（移项,两边平方）(a2c2)x2a2y2a2(a2c2) , 问题①：能否美化结论的形象？

问题②：由直线方程的截距式是否可以得到启发？∴椭圆方程为：

思考：怎样推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程？

问题1:椭圆标准方程的特点是什么?

1 F1

o y P F2

x

问题2: 如何判断椭圆焦点位置? 椭圆的标准方程:

标准方程

不

同

点

图

形

焦点坐标

相

同

点

定

义

a、b、c的关系

焦点位置的判断

平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于

常数（大于F1F2）的点的轨迹

五、

数学应用：

例1：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点之和为3m，求这个椭圆的标准方程。

练习1.下面方程那些表示椭圆？若是，则判定其焦点在何轴？并指明a，b，写出焦点坐标

2222xyxy (2)1(1)12516161622

(4)9x225y22250x2y2(3)221mm1x2y2221(5)3x2y1(6)24k16k练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)a=6 ,b=1,焦点在x轴上； (2)焦点为F(0,－3)，F(0,3),且a=5；

12(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；

(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).

x2y21

，请填空：

练习3. 已知椭圆的方程为：2516(1) a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__.

2

(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，

并且CF1=2,则CF2=___.

x2y2练习4.已知方程1

表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是 4m

x2y21表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 . 变1：已知方程

m13-m

x2y21

，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：

变2：方程25-m16m①表示一个圆；

②表示一个椭圆；

③表示焦点在x轴上的椭圆。

例2、过椭圆4x2y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，求

三角形ABF2的周长。

【课堂小结】

这节课我们学习了椭圆的标准方程，掌握了求焦点在x轴上和在y轴上的标准方程，求标准方程常用的方法：待定系数法，坐标转移法；有时还需要数形结合、分类讨论等思想. 课堂练习

1.已知椭圆的方程为16x29y2144，则a ，b ，c ，焦点坐标为 ，焦距为 .如果曲线上一点P到焦点F1的距离为2，则点P到另一个焦点F2的距离等于 . 2.若动点P到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为（ ）

A. 椭圆 B. 线段F1F2 C. 直线F1F2 D. 不存在

3

椭圆的标准方程作业

班级： 姓名： 1．已知F1,F2是椭圆x2y221(ab0)的两个焦点，2abAB是过F1的弦，则ABF2的周长是-------------------------------------------------------------------------------------（ ）

A.2a B.4a C.8a D.2a2b

222．椭圆xy1的焦点坐标是---------------------------------------------------（ ）

25169A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 223．椭圆xy1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为----- -----（ ）

2529A.5 2B.6 C.4 D.10 4．椭圆xy

1的焦距是2，则m的值是---------------------------------------------（ ）m4B.5或8 C.3或5 D.20 A.5 225．若方程xy1表示焦点在2aay轴上的椭圆，则a的取值范围是------------------ -----（ ）

A. a0 B. 1a0 C. a1 D.无法确定

6．椭圆的两个焦点分别为F1(8,0),F2(8,0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的方程为------------------------------------------------------------------------- ------（ ）

2222x2y2x2y2xyxyA. 1

1 C. 1 B. 1 D. 2012400336361001003622xy7．椭圆1的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD169的周长为

8．a6,c1,焦点在y一轴上的椭圆的标准方程是 1625

229．椭圆xy1的焦点坐标为 22xy10．如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是 a2a6x2y211．已知椭圆1上一点P与椭圆两焦点F1,F2连线的夹角为直角，则PF1PF2= 492424,

周长为50，则顶点A的轨迹标准方程为 13．判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出a,b,c的值 12．ABC中，BCx2y2x2y2x2y222①1； ②1； ③1； ④4y9x36

224242

4

14．

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点坐标分别是(－3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0). (2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,－5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为26. (3)焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1). (4)焦点在y轴上,与y轴的一个交点为P(0,－10),P到它较近的一个焦点的距离等于2. 2(5)求与椭圆4x

9y236有相同焦点,且过点(3,2). 15．(1)方程Ax2By2C是否可以表示椭圆?若能表示椭圆,则A,B,C需要满足的条件是什么? 2k22(2)若方程xy1表示椭圆,求k的取值范围. 3k

16．

已知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。

变式1：已知B(-3,0)，C(3,0)，CA,BC,AB的长组成一个等差数列，求点A的轨迹方程。

变式2：在△ABC中， B(-3,0)，C(3,0), sinCsinB

5 2sinA，求A点的轨迹。（选用）