复习参考题教案1

圆锥曲线定义的妙用

1．求动点轨迹

例1

一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为(

) A．抛物线

C．双曲线的一支

B．双曲线

D．椭圆

分析

分析题意，看满足哪种曲线的定义．

解析

x2＋y2＝1是圆心为原点O，半径为1的圆，x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则

|PO|＝r＋1⇒|PA|－|PO|＝1<|AO|＝3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨|PA|＝r＋2迹为双曲线的一支．

答案

C 2．解三角形

x2y2x22例2

设F1、F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y＝1与C1的一个交点，623求cos∠F1PF2的值．

分析

利用椭圆与双曲线的定义求出|F1F2|，|PF1|和|PF2|，然后由余弦定理求解．

x2y2x22解

曲线C1：＋＝1与曲线C2：－y＝1的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P623为第一象限的交点．则|PF1|＋|PF2|＝26，|PF1|－|PF2|＝23，解得|PF1|＝6＋3，|PF2|＝6－3.又|F1F2|＝4，在△F1PF2中，由余弦定理可求得cos∠F1PF2＝6＋32＋6－32－421＝. 32×6＋3×6－33．求离心率

x22例3

如图，F1、F2是椭圆C1：＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在4第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．

分析

由椭圆可求出|AF1|＋|AF2|，由矩形求出|AF1|2＋|AF2|2，再求出|AF2|－|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率．

解析

由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝23. 因为四边形AF1BF2为矩形，

所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，

所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，

所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，

所以|AF2|－|AF1|＝22，

因此对于双曲线有a＝2，c＝3，

c6所以C2的离心率e＝＝. a2答案

6

2x2y2例4

已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，ab且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．

解析

由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a. 又∵|PF1|＝4|PF2|，

82∴|PF1|＝a，|PF2|＝a，

33在△PF1F2中，应有：|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，

在双曲线中存在|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，

∴|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|. 105即a≥2c，∴e≤，

335又e>1，∴离心率e的取值范围是(1，]．

35答案

(1，]

34．求最值

例5

线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是________．

解析

由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义

知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝a2－c2＝5.于是PM的长度的最小值是b＝5. 答案

5 x22例6

已知F是双曲线－y＝1的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求|PM|3＋|PF|的最小值．

解

设双曲线的左焦点为F′，如图所示，则F′(－2,0)，

由双曲线的定义知：|PF′|－|PF|＝2a＝23，

所以|PF|＝|PF′|－23，

所以|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF′|－23，

要使|PM|＋|PF|取得最小值，只需|PM|＋|PF′|取得最小值，

由图可知，当P、F′、M三点共线时，|PM|＋|PF′|最小，

此时|MF′|＝210，

故|PM|＋|PF|的最小值为210－23.